Виктор Алексеевич Клепцын

Динамические системы: аттракторы и хаос

Курс состоит из 4 занятий.

По определению, динамическая система - это пара из компакта ("множество состояний системы") и непрерывного отображения из этого компакта в себя ("что происходит с системой за одну секунду"). Это - некоторая математическая модель того, что происходит в реальных системах. Естественно, интересно исследовать, как система ведет себя с течением времени (при итерировании нашего непрерывного отображения). Например, "сваливается" ли она в устойчивое положение равновесия (как маятник с трением), выходит ли на какой-нибудь стационарный режим (то же, но с периодической раскачивающей силой), или ведет себя более-менее непредсказуемо (см. прогноз погоды).

Курс будет посвящен двум взаимосвязанным разделам теории динамических систем - аттракторам и математическому хаосу. Аттрактор, по определению - это множество состояний, на которое система "сваливается" с течением времени. Однако здесь возникает большой вопрос: как формализовать понятие "сваливания"? Выясняется, что в зависимости от формализации получаются (существенно) разные множества, и выделить из них какое-то "главное", чтобы сказать: "Это и есть аттрактор", не получается.

Математический хаос - один из ответов на парадокс детерминизма (если мы знаем начальные положения и начальные скорости всех частиц, то мы можем предсказать будущее абсолютно точно). Оказывается, что в некоторых динамических системах имеет место эффект "разбегания траекторий": две траектории с очень близкими начальными условиями через очень небольшое время расходятся и ведут себя совершенно независимо друг от друга.

Хотя в большинстве динамических систем хаос в той или иной форме присутствует (кроме самых простых и "хорошо себя ведущих"), "поймать" его (доказать строго, что хаос есть) не всегда просто. Довольно простой пример, в котором хаос "ловится руками", строится с использованием техники аттракторов (соленоид Смейла-Вильямса).

Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года

Расписание занятий в этом семестре

Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)

Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.

Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.

К ВИДЕО-записям курсов этого семестра

Обязательные курсы

Первый курс

Константин Валерьевич Логинов

Алгебра-2

читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.

 

Георгий Черных

Топология-1

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Олег Карлович Шейнман

Математический анализ-2

читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.

 

Второй курс

Тарас Евгеньевич Панов

Топология-3

читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция

 

Алексей Игоревич Ильин

Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)

читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.

 

Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года

Михаил Юрьевич Розенблюм

Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса

 

Денис Николаевич Терешкин

Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Константин Валерьевич Логинов

Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Игоревич Шарыгин

Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андроник Арамович Арутюнов

Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Андрей Дмитриевич Рябичев

Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Георгий Борисович Шабат

Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Тарас Евгеньевич Панов

Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар

 

Георгий Игоревич Шарыгин и др.

Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар

 

А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик

 

Николай Германович Мощевитин

Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов

 

Владимир Олегович Медведев

Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов. 

 

Алексей Викторович Пенской

Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.

 

Александр Борисович Калмынин

Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.

 

Алексей Викторович Пенской

 Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.