Виктор Алексеевич Клепцын
Динамические системы: аттракторы и хаос
Курс состоит из 4 занятий.
По определению, динамическая система - это пара из компакта ("множество состояний системы") и непрерывного отображения из этого компакта в себя ("что происходит с системой за одну секунду"). Это - некоторая математическая модель того, что происходит в реальных системах. Естественно, интересно исследовать, как система ведет себя с течением времени (при итерировании нашего непрерывного отображения). Например, "сваливается" ли она в устойчивое положение равновесия (как маятник с трением), выходит ли на какой-нибудь стационарный режим (то же, но с периодической раскачивающей силой), или ведет себя более-менее непредсказуемо (см. прогноз погоды).
Курс будет посвящен двум взаимосвязанным разделам теории динамических систем - аттракторам и математическому хаосу. Аттрактор, по определению - это множество состояний, на которое система "сваливается" с течением времени. Однако здесь возникает большой вопрос: как формализовать понятие "сваливания"? Выясняется, что в зависимости от формализации получаются (существенно) разные множества, и выделить из них какое-то "главное", чтобы сказать: "Это и есть аттрактор", не получается.
Математический хаос - один из ответов на парадокс детерминизма (если мы знаем начальные положения и начальные скорости всех частиц, то мы можем предсказать будущее абсолютно точно). Оказывается, что в некоторых динамических системах имеет место эффект "разбегания траекторий": две траектории с очень близкими начальными условиями через очень небольшое время расходятся и ведут себя совершенно независимо друг от друга.
Хотя в большинстве динамических систем хаос в той или иной форме присутствует (кроме самых простых и "хорошо себя ведущих"), "поймать" его (доказать строго, что хаос есть) не всегда просто. Довольно простой пример, в котором хаос "ловится руками", строится с использованием техники аттракторов (соленоид Смейла-Вильямса).
Программа курсов и семинаров МЦНМО-НМУ в весеннем семестре 2024/2025 года
Расписание занятий в этом семестре
Курсы, читавшиеся в НМУ в разные годы (All Courses)
Если не указано иное, то начало занятий 7 февраля 2025.
Все обязательные курсы, почти все спецкурсы и некоторые доклады на спецсеминарах будут записываться на видео. Они будут доступны на общедоступном ресурсе.
К ВИДЕО-записям курсов этого семестра
Обязательные курсы
Первый курс
- Константин Валерьевич Логинов
- Алгебра-2
- читается по понедельникам с 17:30, очно+трансляция.
- Георгий Черных
- Топология-1
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
- Олег Карлович Шейнман
- Математический анализ-2
- читается по пятницам с 17:30, очно+трансляция.
Второй курс
- Тарас Евгеньевич Панов
- Топология-3
- читается по понедельникам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Викторович Пенской
- Дифференциальная геометрия
- читается по средам с 17:30 (семинары с 19:20), очно+трансляция
- Алексей Игоревич Ильин
- Алгебра-4 (Группы и алгебры Ли)
- читается по четвергам с 17:30, очно+трансляция.
Список спецкурсов и спецсеминаров в весеннем семестре 2024/2025 года
- Михаил Юрьевич Розенблюм
- Алгебраическая теория чисел: введения. Продолжение годового спецкурса
- Денис Терешкин
- Аддитивные и абелевы категории. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Константин Валерьевич Логинов
- Введение в ограниченность многообразий Фано. Спецкурс совместно с мех-мат МГУ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Игоревич Шарыгин
- Циклические гомологии и их применения. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- А.А.Арутюнов
- Грубая геометрия. Спецкурс в формате лекция + семинар, рекомендован для 3-5 курсов.
- Андрей Дмитриевич Рябичев
- Введение в поверхности бесконечного типа. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Георгий Борисович Шабат
- Тэта-функции и решетки. Часть 2. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Тарас Евгеньевич Панов
- Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Спецсеминар
- Георгий Игоревич Шарыгин и др.
- Деформационное квантование и квантовые группы. Спецсеминар
- А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик
- Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений,
руководители А.М.Вербовецкий и И.С.Красильщик - Николай Германович Мощевитин
- Диофантовы приближения. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов
- Владимир Олегович Медведев
- Геометрия общей теории относительности. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Риманова геометрия. Спецкурс совместно с матфаком ВШЭ, рекомендован для 3-5 курсов.
- Александр Борисович Калмынин
- Методы решета. Спецкурс рекомендован для 3-5 курсов.
- Алексей Викторович Пенской
- Спектральная геометрия. Спецсеминар рекомендован для 3-5 курсов.