Ольга Дмитриевна Аносова,
Виталий Александрович Курлин

Парадоксы теории вероятностей

Материалы по курсу можно взять здесь.

Курс рассчитан на 4 занятия. При таком ограниченном времени авторы ставят перед собой две цели: пробудить у участников интерес к теории вероятностей и дать базовые понятия, необходимые для дальнейшего более глубокого изучения этой теории. Наилучшим средством достижения этих целей представляются вероятностные парадоксы, исторически возникавшие в процессе эволюции от азартных игр к науке: при формулировках, доступных школьникам, парадоксы для полного разрешения требуют глубокого понимания. Курс делится на следующие темы.

1. Какие бывают случайности?

1. а) Интуитивное понимание случайности часто не совпадает со строгим математическим: парадокс де Мере об игре в кости, обмен подарками, совпадение дней рождений, раздел шкуры неубитого медведя.
2. б) В одной задаче возможно несколько моделей случайного эксперимента, приводящие к разным ответам: парадокс Бертрана о длине случайной хорды, задача о толстой монетке/
3. в)Аксиоматика Колмогорова в дискретном случае: элементарные события, вероятностное пространство и ряд распределения.

2. Как распознать зависимые события?

Понятие независимости событий. Схема Бернулли.

1. а) Парадоксы престолонаследования: какова вероятность появления наследника после рождения четырех девочек?
2. б) Влияние джокера на карточную игру.
3. в) Попарная независимость и независимость в совокупности.

Условная вероятность, полная вероятность, формула Байеса.

1. а) Особенности национальной рыбалки: распознавание сапог в темноте.
2. б) Бесконечная орлянка с передачей хода.
3. в) Дилемма игрока в "Поле чудес" и дилемма заключенного.

3. Насколько хорош прогноз, основанный на среднем числе успехов?

Случайная величина, математическое ожидание.

1. а) Таблица Галлея: по статистике половина населения не доживает до трети от средней продолжительности жизни.
2. б) Сколько надо сделать попыток до первого успеха?
3. в) Бесконечное математическое ожидание: можно ли обыграть банк?
4. г) Как отличить экспериментальную серию выпадений монетки от выдуманной?

4. Как играть, чтобы выиграть с большей вероятностью?

Применение теории вероятностей к игровым задачам.

1. а) "Беспроигрышная лотерея".
2. б) Игра с неравносильными противниками.
3. в) Игра с нетранзитивными стратегиями.
4. г) Как играть в проигрышную игру и даже превратить ее в выигрышную?
5. д) Когда страхование выгодно и клиенту тоже?
6. е) Оптимальный выбор невесты.

E-mail оргкомитета:

dubna@mccme.ru