Тарас Евгеньевич Панов
Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий
Спецсеминар.
Страница семинара в прошлые семестры
Плейлист курса – на YouTube и на RuTube
Лекции читаются очно по понедельникам, с 16:00 в аудитории 310 и транслируются на YouTube и на RuTube.
21 апреля 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Фёдор Евгеньевич Вылегжанин
Тема: Коммутант присоединённой алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера. Часть 2.
Аннотация доклада:
Исследован коммутант градуированной алгебры Ли L(RC_K), присоединенной к нижнему центральному ряду прямоугольной группы Кокстера RC_K. Доказано, что коммутант является гомоморфным образом кольца многочленов над вспомогательной подалгеброй Ли N_K граф-алгебры Ли L_K. Мы высказываем гипотезу, что отображение проекции является изоморфизмом. Это отображение определяется в терминах новой операции в присоединенной алгебре Ли, которая соответствует возведению в квадрат и имеет аналог в теории гомотопий.
Также доказано, что универсальная обёртывающая алгебра U(N_K) изоморфна гомологиям петель соответствующего момент-угол комплекса (с коэффициентами в Z_2). Это позволяет исследовать аддитивную и мультипликативную структуру Z_2-алгебры Ли N_K.
14 апреля 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Яков Александрович Верёвкин
Тема: Коммутант присоединённой алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера.
Аннотация доклада:
Исследован коммутант градуированной алгебры Ли L(RC_K), присоединенной к нижнему центральному ряду прямоугольной группы Кокстера RC_K. Доказано, что коммутант является гомоморфным образом кольца многочленов над вспомогательной подалгеброй Ли N_K граф-алгебры Ли L_K. Мы высказываем гипотезу, что отображение проекции является изоморфизмом. Это отображение определяется в терминах новой операции в присоединенной алгебре Ли, которая соответствует возведению в квадрат и имеет аналог в теории гомотопий.
Также доказано, что универсальная обёртывающая алгебра U(N_K) изоморфна гомологиям петель соответствующего момент-угол комплекса (с коэффициентами в Z_2). Это позволяет исследовать аддитивную и мультипликативную структуру Z_2-алгебры Ли N_K.
31 марта 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Дмитрий Александрович Цыганков
Тема: Гиперболические 3-многообразия конечного объёма и их расслоения над окружностью.
Аннотация доклада:
Рассматриваются многообразия, которые получаются при помощи склейки прямоугольных многогранников конечного объема в пространстве Лобачевского.
Такие многообразия деформационно ретрагируются на кубический комплекс. Далее, опираясь на теорию Бествина-Бреди и теорему Столлингса, можно получить, что все многообразия, построенные по идеальным прямоугольным многогранникам (все вершины лежат на абсолюте), расслаиваются над окружностью.
24 марта 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Михаил Николаевич Шенгелия
Тема: Группы автоморфизмов рациональных комплексных момент-угол-многообразий. Часть 2.
Аннотация доклада:
В торической геометрии важную роль играет фактор-конструкция Батырева-Кокса, согласно которой торическое многообразие V_Σ, заданное симплициальным веером Σ, представляется в виде пространства орбит действия квазитора G на открытом подмножестве U аффинного пространства. Эта конструкция позволяет, при дополнительном требовании полноты веера, получить описание группы автоморфизмов V_Σ в терминах некоторой короткой точной последовательности.
Подобное построение существует и в торической топологии. А именно, момент-угол-комплекс Z_K выбором симплициального веера с подлежащим симплициальным комплексом K и комплексной подгруппы Ли H в алгебраическом торе, удовлетворяющей определённым условиям, представляется в виде U/H и снабжается тем самым структурой комплексного многообразия с каноническим слоением F. В случае, когда веер Σ рационален, F замыкается в расслоение над торическим многообразием V_Σ со слоем комплексный компактный тор G/H.
Изучая это расслоение, мы дадим описание связной компоненты единицы группы биголоморфных автоморфизмов Z_K, аналогичное тому, что имеет место для торических многообразий. Также будут предложены примеры, демонстрирующие различные случаи, которые возникают при попытке описать дискретную часть группы автоморфизмов.
17 марта 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Михаил Николаевич Шенгелия
Тема: Группы автоморфизмов рациональных комплексных момент-угол-многообразий.
Аннотация доклада:
В торической геометрии важную роль играет фактор-конструкция Батырева-Кокса, согласно которой торическое многообразие V_Σ, заданное симплициальным веером Σ, представляется в виде пространства орбит действия квазитора G на открытом подмножестве U аффинного пространства. Эта конструкция позволяет, при дополнительном требовании полноты веера, получить описание группы автоморфизмов V_Σ в терминах некоторой короткой точной последовательности.
Подобное построение существует и в торической топологии. А именно, момент-угол-комплекс Z_K выбором симплициального веера с подлежащим симплициальным комплексом K и комплексной подгруппы Ли H в алгебраическом торе, удовлетворяющей определённым условиям, представляется в виде U/H и снабжается тем самым структурой комплексного многообразия с каноническим слоением F. В случае, когда веер Σ рационален, F замыкается в расслоение над торическим многообразием V_Σ со слоем комплексный компактный тор G/H.
Изучая это расслоение, мы дадим описание связной компоненты единицы группы биголоморфных автоморфизмов Z_K, аналогичное тому, что имеет место для торических многообразий. Также будут предложены примеры, демонстрирующие различные случаи, которые возникают при попытке описать дискретную часть группы автоморфизмов.
10 марта 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Кирилл Вениаминович Шахматов
Тема: Двойственность Гейла и полные торические многообразия с малым числом Пикара. Часть 2.
Аннотация доклада:
В докладе мы обсудим применение конструкции двойственности Гейла, введённой в работе [3], к описанию торических многообразий. Эта конструкция позволяет интерпретировать различные свойства торических многообразий в терминах двойственных по Гейлу данных. Мы также сформулируем классификацию полных гладких торических многообразий с числом Пикара не выше 3 из работ [2] и [1] в этих терминах.
Литература:
[1] Victor Batyrev. On the classification of smooth projective toric varieties. Tohoku Math. J. (2) 43 (1991), no. 4, 569–585
[2] Peter Kleinschmidt. A classification of toric varieties with few generators. Aequationes Math. 35 (1988), no. 3, 254–266
[3] Tadao Oda and Hye Sook Park. Linear Gale transforms and Gelfand-Kapranov-Zelevinskij decompositions. Tohoku Math. J. (2) 43 (1991), no. 3, 375-399
3 марта 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Кирилл Вениаминович Шахматов
Тема: Двойственность Гейла и полные торические многообразия с малым числом Пикара.
Аннотация доклада:
В докладе мы обсудим применение конструкции двойственности Гейла, введённой в работе [3], к описанию торических многообразий. Эта конструкция позволяет интерпретировать различные свойства торических многообразий в терминах двойственных по Гейлу данных. Мы также сформулируем классификацию полных гладких торических многообразий с числом Пикара не выше 3 из работ [2] и [1] в этих терминах.
Литература:
[1] Victor Batyrev. On the classification of smooth projective toric varieties. Tohoku Math. J. (2) 43 (1991), no. 4, 569–585
[2] Peter Kleinschmidt. A classification of toric varieties with few generators. Aequationes Math. 35 (1988), no. 3, 254–266
[3] Tadao Oda and Hye Sook Park. Linear Gale transforms and Gelfand-Kapranov-Zelevinskij decompositions. Tohoku Math. J. (2) 43 (1991), no. 3, 375-399
24 февраля 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Всеволод Аркадьевич Триль
Тема: О связи дополнений координатных и диагональных конфигураций: диагональные отображения Ли Цая и Санеблидзе-Умбле.
Аннотация доклада:
Дополнения вещественных координатных конфигураций широко изучены в торической топологии. Известно, что они гомотопически эквивалентны вещественному момент-угол комплексу, который является клеточным подкомплексом в кубе. Дга-модель для вычисления кольца когомологий данных пространств была построена Ли Цаем в 2014 году на основе конкрентной клеточной аппроксимации диагонального отображения. Нами показано, что дополнения вещественных диагональных конфигураций, в свою очередь, гомотопически эквивалентны клеточному подкомплексу в пермутоэдре. Для вычисления их колец когомологий необходимо использовать клеточную аппроксимацию диагонали пермутоэдра, одна из которых была построена в работе Санеблидзе и Умбле. Мы докажем, что проекция пермутоэдра на куб переводит диагональ Санеблидзе-Умбле в диагональ Ли Цая. Также мы проанализируем взаимосвязь пермутоэдральных комплексов, отвечающих дополнениям диагональных конфигураций, и их образов при проекции на куб.
17 февраля 2025 (понедельник), 16:00 ОЧНО в ауд.310 и дистанционно состоится доклад:
Докладчик: Георгий Сергеевич Черных
Тема: О реализации фильтрации Адамса-Новикова многообразиями с углами.
Аннотация доклада:
В докладе я постараюсь рассказать о подходе Герда Лауэрса к реализации фильтрации Адамса-Новикова на стабильных гомотопических группах сфер с помощью бордизмов многообразий с углами. Лауэрс применил этот общий подход к изучению элементов стабильных гомотопических групп сфер, задаваемых оснащениями на группах Ли.