На главную страницу НМУ

П.Г.Гриневич

Введение в теорию солитонов (математические вопросы)

Программа курса

1. Физическое введение: Линейные и нелинейные системы - примеры. Дисперсия, нелинейность, диссипация. Открытие солитона на поверхности воды. Уравнение Кортевега де Фриза.
2. Элементы классической механики: Лагранжев и гамильтонов формализм. Скобки Пуассона. Симметрии и законы сохранения. Теорема Нетер для конечномерных систем. Уравнение Гамильтона-Якоби.
3. Вполне интегрируемые системы. Теорема Лиувилля. Задача Кеплера, волчки, геодезические на эллипсоиде.
4. Лагранжев и гамильтонов формализм для систем с частными производными. Две гамильтоновы структуры уравнения KdV. Бигамильтоновы системы.
5. Квантовая задача рассеяния в размерности 1. Уравнение Шредингера. Спектр.
6. Представление Лакса для KdV. Интегрирование в классе быстроубывающих функций. Обратная задача рассеяния. N - солитонные решения. Преобразования Дарбу. Добавление солитона к решению.
7. Бесконечное число законов сохранения. Высшие уравнения KdV. Вывод из спектральной задачи. Схема Ленарда-Магри. Реккурсионный оператор. Бесконечное число законов сохранения как следствие бигамильтоновости.
8. Уравнение KdV с периодическими граничными условиями. Квантовая теория частицы в периодическом потенциале. Блоховские функции и квазиимпульс. Зоны параметрического резонанса. Конечнозонные потенциалы.
9. Тета-функции Римана. Преобразование Абеля. Конечнозонные решения уравнения KdV. Уравнения Дубровина. Формула Матвеева-Итса.

Если успею:

1. Другие уравнения: Нелинейный Шредингер, n - волн, ...
2. Системы с двумя пространственными переменными. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили.