В весеннем семестре 2014-2015 года возобновит работу семинар «Когомологиские аспекты геометрии дифференциальных уравнений» под руководством А.Вербовецкого и И.Красильщика.
Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.
Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.
13 мая 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: С.Тычков
Тема: Инварианты решений уравнения ассоциативности
Аннотация:
Нами рассматривается уравнение ассоциативности
u_{yyy} + u_{xxx}u_{xyy} - u_{xxy}^2 = 0.
Найдена алгебра Ли симметрий этого уравнения. Доказана алгебраичность
действия этой алгебры. Описана алгебра дифференциальных инвариантов
решений уравнения ассоциативности. С помощью теоремы Ли-Бьянки найдены
некоторые решения уравнения ассоциативности.
6 мая заседания не будет
29 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Введение а нейрогеометрию зрения. Часть 2
22 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Новое "промежуточное" уравнение, обобщающее уравнение ассоциативности
Аннотация:
Построена трёхкомпонентная система уравнений, которая:
15 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Symmetry reductions of Lax integrable 3D systems
Аннотация
8 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Медведев
Тема: Основные понятия диффеологии. Часть 2
1 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: П.Бибиков
Тема: О геометризации дифференциальных уравнений второго порядка, квадратичных по старшим производным
Аннотация:
В 1978 г. В.В.Лычагиным была предложена замечательная конструкция,
позволяющая геометризовать уравнения Монжа-Ампера второго порядка. Суть
это конструкции заключалась в представлении уравнений как ядер некоторых
нелинейных дифференциальных операторов, строящихся по т.н. эффективным
дифференциальным 2-формам, лежащим на распределении Картана в
пространстве 1-джетов. Преимуществами такого подхода к изучению
уравнений Монжа-Ампера являются, во-первых, возможность привлечения
геометрических методов для изучения этих уравнений, а во-вторых,
понижение порядка рассматриваемых объектов.
Представляется естественным обобщить конструкцию Лычагина на другие классы дифференциальных уравнений. В докладе будет сделана попытка такого обобщения на дифференциальные уравнения второго порядка, квадратичные по старшим производным. В первой части доклада мы поговорим об обыкновенных дифференциальных уравнениях (где удалось довести вычисления до явных ответов), а во второй - об уравнениях в частных производных (где окончательных ответов пока что не получено). При этом будет показано, как точечные инварианты таких уравнений связаны с симплектическими инвариантами грассманианов квадрик, а контактные - с квадриками на пространстве эффективных дифференциальных 2-форм.
25 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Четвериков
Тема: Анализ и синтез обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной
Аннотация:
Доклад посвящён исследованию обратимых линейных дифференциальных
операторов с одной независимой переменной. Актуальность задачи описания
таких операторов объясняется её связью с задачами преобразования и
классификации систем управления, в частности, с задачей проверки
плоскостности систем.
Каждый обратимый линейный дифференциальный оператор определяет серию спектральных последовательностей цепных комплексов. На основе исследования размерностей модулей этих спектральных последовательностей будет построено соответствие между обратимыми операторами и элементарно-геометрическими моделями, которые называются d-схемами квадратов. Обратимый оператор определяется своей d-схемой неоднозначно, но будут сформулированы математические структуры, которые необходимо задать для однозначного определения такого оператора, а также алгоритм его построения.
В качестве демонстрации применения полученного описания обратимых операторов будут получены условия плоскостности систем с двумерным управлением.
Наконец, будут рассмотрены возможные обобщения предлагаемого подхода на случай операторов в частных производных, дифференциальных операторов с запаздыванием и разностных операторов.
Ссылка:
Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных
дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и
образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. N 7. С.
105-127.
http://dx.doi.org/10.7463/0714.0718107
18 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Введение а нейрогеометрию зрения
Аннотация:
Термин "нейрогеометрия" был предложени J.Petitot в 1990 году для раздела
нейронауки, занимающейся построением моделей различных структур мозга,
прежде всего связанных со зрением, на языке дифференциальной геометрии и
дифференциальных уравнений. Структуры описываются как сплошные среды с
локальной внутренней структурой, определяемой свойствами нейронов.
Подход базируется на принципе локальности действия зрительных нейронов,
возбуждение которых зависит от плотности энергии света I, падающего на
небольшую область сетчатки D ("рецептивное поле нейрона"). Многие
зрительные нейроны работают как линейные фильтры (обобщённые функции с
носителем D) - их возбуждение определяется интегралом от функции
интенсивности I по области D с некоторым весом ("рецептивным профилем
нейрона").
В докладе будет кратко описано строение и работа низших структур зрительной системы (early vision) - глаза, сетчатки, наружного коленчатого тела. Будет рассмотрена открытая D.Hubel and T.Wiesel удивительная архитектура примарной зрительной коры VI - поле piwheel'ов и система гиперколонок (Нобелевская премия 1990). Будут кратко изложены различные геометрические модели, описывающие эти структуры и их эволюцию (контактная модель Petitot, симплектическая модель Petitot-Citti-Satri, модель гиперколонок Bressloff-Cowan'a, модель эволюции поля пинвилов Wolf-Geisel'a). В заключение будет предложен синтез моделей Petitot-Citti-Sarti и Bressloff-Cowan, и применение этой модели к решению проблемы стабильности - инвариантности восприятия изображения относительно фиксационных движений глаз, открытых А.Ярбусом.
11 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Медведев
Тема: Основные понятия диффеологии
Аннотация:
Диффеология - это некоторое расширение дифференциальной геометрии. Имея
минимальный набор аксиом, диффеология позволяет работать просто, но
строго с объектами, которые обычно стараются избежать в дифференциальной
геометрии: фактор-многообразия (в том числе, нехаусдорфовы),
пространства функций, группы диффеоморфизмов, пространство слоёв слоения
и тп. Категория диффеологических пространств обладает многими приятными
качествами. Например, она является полной и кополной категорией, а
категория гладких конечномерных многообразий с границей в ней образует
полную подкатегорию. Все основные понятия дифференциальной геометрии
(гладкое многообразие, расслоения, тензоры, производные Ли и тп)
переносятся на диффеологические пространства. Я расскажу о том как это
можно сделать.
Доклад ожидает быть вполне элементарным: для его понимания необходимы только знание основ дифференциальной геометрии. Я постараюсь дать как можно больше примеров и иллюстраций основных объектов диффеологии и в то же время дать все основные определения.
Ссылки:
1) P.Iglesias-Zemmour, Diffeology, AMS, 2013, available on the net
2) M.Vincent, Diffeological differential geometry, Master thesis, Univ.
Copenhagen, 2008
http://www.math.ku.dk/english/research/top/paststudents/martinvincent.msthes
is.pdf
3) Y.Karshon, An Invitation to Diffeology, talk at Conf. Poisson 2014,
http://www.youtube.com/watch?v=UVomh_LRHw4
4 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Р.Полищук
Тема: Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна-Картана
Аннотация:
1. Уравнения Эйнштейна-Картана-Киббла-Шьямы записаны по аналогии с
уравнениями Максвелла и неабелевой квантовой теории поля в виде:
кодифференциал дифференциала любого тетрадного потенциала равен
сохраняющемуся тетрадному току.
2. Дан анализ дивергенциального члена лагранжиана Гильберта, отличающего
его от укороченного лагранжиана Гиббонса-Хокинга.
3. Предложена каноническая калибровка тетрады, задающей шесть
2-направлений экстремальной секционной римановой кривизны.
4. Дан интегральный эквивалент свёрнутых тождеств Бьянки в виде
нелокального интегрального закона сохранения.
5. Рассмотрены для примера тетрадные токи миров Шварцшильда и де
Ситтера.
25 февраля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Дифференциальные инварианты на решениях системы уравнений адиабатического течения газа
Аннотация:
Доклад посвящён системе уравнений адиабатического течения газа в
n-мерном пространстве, n=1,2,3.
Характеристические ковекторы этой системы порождают на каждом её решении геометрическую структуру. Эта структура состоит из гиперплоскости и невырожденного конуса в каждом кокасательном пространстве к решению, пересекающихся только в нуле.
В докладе будут представлены некоторые дифференциальные инварианты этой структуры: векторное поле, метрика и линейная связность, обладающая в общем положении кручением.
В случае политропного течения газа будут представлены явные решения с линейной связностью без кручения.
17 февраля (вторник) в 17:00 в ауд.303 состоится мини-конференция (на английском языке)
«Интегрируемые уравнения».
Докладчики:
Vsevolod Adler (Chernogolovka)
Тема: On the combinatorics of several integrable hierarchies
Evgeny Ferapontov (Loughborough)
Тема: Dispersionless integrable systems in 3D and Einstein-Weyl geometry
(based on joint work with Boris Kruglikov)
Vladimir Sokolov (Chernogolovka)
Тема: Algebraic quantum Hamiltonians on the plane
Raffaele Vitolo (Lecce)
Тема: Projective-geometric aspects of homogeneous third-order Hamiltonian operators and applications to WDVV equations
Аннотации докладов можно найти на сайте http://gdeq.org/Mini-Workshop_on_Integrable_Equations
11 февраля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Слабо-нелокальные однородные дифференциально-геометрические скобки Пуассона нечётных порядков
Аннотация:
Понятие локальных однородных дифференциально-геометрических скобок
первого порядка было введено Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым в 1983 году.
В 1984 году это понятие было расширено на произвольный порядок. В 1990
году Е.В.Ферапонтовым локальные однородные
дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка были
обобщены на слабо-нелокальный случай.
В данном докладе рассматривается обобщение локальных однородных дифференциально-геометрических скобок Пуассона произвольного нечётного порядка на слабо-нелокальный случай.
