На главную страницу НМУ

Аркадий Борисович Скопенков

Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

Аннотация

Будут изучаться важнейшие наглядные объекты математики: графы, двумерные полиэдры, маломерные многообразия и векторные поля на них. Основное содержание курса --- демонстрация алгебраических идей теории препятствий на примере решения проблем о существовании и классификации утолщений и векторных полей. Эти идеи развивают идею инварианта из "школьной" математики, при помощи которой доказывается невозможность некоторых построений или неэквивалентность различных построений. Венец спецкурса --- простое доказательство знаменитой теоремы Штифеля о параллелизуемости любого ориентируемого трехмерного многообразия.

Для изучения спецкурса необходимы начальные сведения о двумерных многообразиях и векторных полях (в объеме соответствующей части первого семестра топологии в НМУ или соответствующих разделов одной из книг 'Наглядная топология' В. В. Прасолова, http://www.mccme.ru/prasolov, или В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича, http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/ boltiansky-nagl-topo.htm). Определение двумерных полиэдров и трехмерных многообразий будет дано.
Определение групп гомологий естественно появится при решении указанных интересных задач и потому его не обязательно знать заранее.
В то же время для тех, кто уже изучал алгебраическую топологию, ее применение к конкретным задачам обычно оказывается нетривиальным и интересным.

Основная часть материала будет изучаться в виде решения задач участниками (с подробными указаниями и последующим разбором на занятии). Будут предложены красивые задачи для исследования.

Экзамен

[Экзаменационное задание .pdf]

Примерная программа

  1. Ориентируемость двумерных многообразий: гомологии и первый класс Штифеля-Уитни.

  2. Форма пересечений. Алгоритм распознавания рода графа (использующий пересечения кривых на поверхности).

  3. Утолщения графов. Планарность и род двумерных утолщений.

  4. Классификация утолщений графов и первый класс Штифеля-Уитни.

  5. Определение двумерных полиэдров и трехмерных многообразий.
    Утолщения двумерных полиэдров.
    Ложные поверхности. Критерии трехмерной утолщаемости ложных поверхностей.
    Классификация трехмерных, четырехмерных и многомерных утолщений двумерных полиэдров.

  6. Классификация ненулевых касательных векторных полей на подмножествах плоскости и двумерных многообразий.

  7. Критерий Эйлера-Пуанкаре существования ненулевого касательного векторного поля на двумерном многообразии.

  8. * Нормальные векторные поля. Класс Эйлера.
    Существование ненулевого нормального векторного поля на гладкой сфере с ручками в $\R^4$.

  9. Теорема Хопфа о существовании ненулевого касательного векторного поля на любом 3-многообразии.
    Критерий Хопфа существования ненулевого касательного векторного поля для многомерных многообразий.

  10. * Нормальные векторные поля для многообразий размерности 3 и выше.

  11. Существование ортонормированных систем векторных полей.
    Характеристические классы для трехмерных многообразий.

  12. Простое доказательство теоремы Штифеля о параллелизуемости любого ориентируемого трехмерного многообразия.

Литература:

главы 2 и 3 из книги
А. Скопенков, Алгебраическая топология с элементарной точки зрения, Москва, МЦНМО, в печати,
http://www.mccme.ru/circles/oim/obstruct.pdf.
Rambler's Top100