На главную страницу НМУ

П.М.Ахметьев, Ю.П.Соловьев (P.Akhmetyev, Yu.Solovyev)

Погруженные поверхности (Immersed surfaces)

Lecture notes

[Gzipped postscript (163K)|Zipped postscript (163K)]

Figures

The figures are in two separate jpg-files:

[Figures 1-5 (254K)|Figures 6-12 (336K)]

План

Введение

A. Основные определения. Погружения поверхностей в $R^3$ и основная проблема их классификации с точностью до регулярной гомотопии и кобордизма. Представление погруженной поверхности семейством сечений. Примеры поверхностей (действующие лица).

  1. поверхность Боя (тип а,б)
  2. сфера Морена
  3. тор Понтрягина
  4. тор Константинова
  5. сфера Милнора

B. Особые точки проекции погруженной поверхности на плоскость, (складки и сборки) построенные по семейству сечений. $I$-структура погруженной поверхности и методы ее построения. $I$-структура погружений 1-5.

Теория гомотопий

A. Определение групп $Imm^o(n,1)$ и $Imm^{so}(n,1)$. Геометрическое описание их образующих.

B. Конструкция Понтрягина -Тома для кобордизма вложенных многообразий с заданной структурой нормального расслоения. Принцип Смейла-Хирша и теорема Уэлса. Классифицирующие пространства $QRP^{\infty}$, $QS^1$ для групп $Imm^o(n,1)$, $Imm^{so}(n,1)$ кобордизма погружений. Стабильные гомотопические группы сфер $\Pi(n)$ как группы кобордизма погружений ориентированных $n$-многообразий в евклидовом $n+1$-пространстве. [Sz].

C. Методы вычисления 2-кручений гомотопических групп классифицирующих пространств. Алгебра Стинрода. Соотношения Адема. Высшие опрераторы Бокштейна. Различие высших операторов Бокштейна для локально конечных и локально бесконечных клеточных пространств. Пространства Эйленберга-Маклейна. Натуральные системы Постникова (для односвязных пространств). Спектральная последовательность Серра расслоения. Случай метастабильной размерности. Связь трансгрессии и $k$-инвариантов. Лемма Бокштейна. Методы вычисления дифференциалов. [M-T].

D. Вычисления групп $Imm^o(n,1)$, $Imm^{so}(n,1)$ $n = 0,1,2$ методами теории гомотопий. $Imm^{so}(0;1)$ степень отображения. $Imm^{so}(1;1)$ инвариант Хопфа, первое убивающее пространство. $Imm^{so}(2,1)$ второе убивающее пространство. $Imm^{o}(2;1)$ применение леммы Бокштейна. Вычисление гомоморфизма $Imm^{so}(2,1) \to Imm^{o}(2,1)$. [M-T].

E. Композиции в стабильных гомотопических группах сфер. Детектирование степени отображения $S^n \to S^n$ операторами Бокштейна, инварианта Хопфа $S^{n+1} \to S^n$ операцией $Sq^2$, композиции $S^{n+2} \to S^{n+1} \to S^n$ cоотношением Адема $Sq^2 Sq^2 + Sq^3 Sq^1 =0$. [M-T]

F. Прибавление: Гомоморфизм Кана-Приди $Imm^o(n,1) \to Imm^{so}(n+1,1)$, $n=0,1$. Kомпозиция в гомотопических группах сфер $S^{n+2} \to S^{n+1} \to S^n$ как декартово произведение погружений. [K].

Дискриминант $I$-структуры

A. Постановка задачи: описать инвариант класса кобордизма как инвариант первого порядка в смысле Васильева.

B. Устойчивые отображения. Нормальная локальная форма устойчивых отображений. Устойчивые отображения $M^2 \to R^2$, $M^3 \to R^3$, $M^2 \to R^3$, $M^3 \to R^3$, $M^3 \to R^4$. Классификация локальных нормальных форм. Классификация мультиособенностей устойчивых отображений. [A1].

С. Особенности $I$-структуры для отображений $M^3 \to R^4 \to R^3$ (рис. 1). Дискриминант особенностей $I$-структуры для отображений $M^2 \to R^3 \to R^2$.

D. Целочисленный коцикл особенностей $I$-структуры. Первая формула для класса кобордизма $Imm^o(2,1)$. Вторая формула для класса кобордизма $Imm^o(2,1)$. Примеры вычисления класса кобордизма для примеров 1-5. Пример вычисления алгебраического числа особенностей $I$-cтруктуры коразмерности 1 при регулярной гомотопии двух устойчивых погружений и гомотопии двух устойчивых отображений.

E. Прибавление 1. Сферические функции и метод годографа. Лежандровы многообразия и отображения. Особенности лежандровых поверхностей и их однопараметрических деформаций. Отображение Лежандра сферической функции, принцип "исчезновения" диполя. Теорема Максвелла для пространства квадруполей. [A1,A2, A3].

F. Прибавление 2. Пространство псевдоизотопий. Теорема Серфа о гомотопическом типе пространства псевдоизотопий. Нормальные формы особенностей $n$-параметрических семейств функций, $n=1,2$. Диаграмма Серфа $n$-параметрического семейства функций, $n=1,2$. Проблема вычисления гомотопического типа пространства псевдоизотопий замкнутого многообразия высокой размерности. [H-W].

Классификация квадратичных форм и проблема аппроксимации поверхности вложением в 4-пространстве

A. Классификация классов регулярной гомотопии погруженой поверхности (ориентированной) классом изоморфизма $Z/4$-квадратичной формы ($Z/2$-квадратичной формы). Классификация классов кобордизма погруженой поверхности (ориентированной) инвариантом Брауна $Z/4$-квадратичной формы (Аrf- инвариантом $Z/2$-квадратичной формы). Примеры вычислений. [G-M].

В. Проблема реализации, распроектирования и аппроксимации. Эквивалентность проблемы реализации и аппроксимации в $R^4$ для устойчивых отображений ориентированной поверхности $M^2 \to R^3$. Инварианты Масси трехкомпонентных зацеплений длины 1 как инвариантов $\delta$-движений диаграмм трехкомпонентных зацеплений. Эквивалентность задачи аппроксимации и распроектирования в $R^4$ для устойчивых отображений ориентированной поверхности $M^2 \to R^3$. Локальная $Prem$-структура. Полное препятствие к задаче распроектирования. $Arf$-инвариант как частичное препятствие к задаче распроектирования. Задача о классификации локальных $Prem$-структур для погруженной ориентированной поверхности с точностью до регулярной гомотопии и кобордизма.

C. Прибавление. Формула Виро-Поляка для инвариантов Милнора трехкомпонентных зацеплений длины 1. [V-P]

Список литературы

[M-T] Р.Мошер, М. Тангора. Когомологические операции и их приложение в теории гомотопии. Москва Мир 1970.

[A1] Арнольд В.И., Варченко А.Н. Гуссейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Наука Москва 1982.

[A2] Арнольд В.И. Topological invariants of plane curves and caustics. University Lecture Series Vol. 5, AMS 1994.

[A3] Арнольд В.И.

[H-W] Hatcher A. and Wagoner J. Pseudo-Isotopies of Compact Manifolds, Asterisque 6, 1973.

[P-V] Polyak M. and Viro O. Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants. International Mathematical Research Notices 1984 N11.

[K] Koschorke U. Multiples points of immersions and Khan-Priddy theorem, Math Z. 169, (1979) 223-236.

[Sz] Szucs A. Two theorem of Rokhlin, Записки ученых семинаров ПОМИ т. 267 (2000) 274-281

[G-M] Guillou L., Marin A. В поисках утраченной топологии. Мир 1989, Москва.


Rambler's Top100