# С.М.Натанзон, О.В.Шварцман, О.К.Шейнман

## Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика

В осеннем семестре 2011 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.

Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:

Пятница, 9 декабря 2011, 17.00, ауд. 303

## Dimitri Gurevich (Universite de Valenciennes)

### From Braided Geometry to Integrable systems

Абстракт:
By Braided Geometry I mean a theory dealing with braidings (i.e. solu- tions of the Quantum Yang-Baxter Equation) playing the role of usual flips (or super-flips). The main object of Braided Geometry is the so-called Re- flection Equation algebra associated to a given braiding. This algebra can be treated as an analog of the enveloping algebra U(gl(m|n)). Besides, for a matrix L coming in its definition there is a version of the Cayley-Hamilton identity. This enables one to introduce "eigenvalues" of the matrix L. Also, a version of partial derivatives can be defined on this algebra via a deep generalization of the Woronowicz's differential calculus on a pseudogroup.
By assuming the initial braiding to be a deformation of a super-flip, and passing to the limit q = 1 we get partial derivatives on the algebra U(gl(m|n)) (with a very surprising modification of the Leibniz rule). This enables one to define analogs of the Laplacian operator and its higher coun- terparts on the algebra U(gl(m|n)). Such operators can be also defined on the braided deformation of this algebra (i.e. the corresponding Reflection Equation algebra). By restricting these operators to the center of the algebra in question and by expressing them via the aforementioned "eigenvalues" one can get a family of operators (hopefully, difference ones) in involution. They are two-parameter deformations of operators which are gauge equivalent to Calogero-Moser ones.
I plan to exhibit the simplest example in details.

Пятница, 2 декабря 2011, 17.00, ауд. 303

## Андрей Миронов (Новосибирск)

### Модули Бейкера-Ахиезера и комутативные кольца дифференциальных операторов в частных производных.

Абстракт:
В докладе будет рассказано о модулях Бейкера-Ахиезера на алгебраических многообразиях. Будут рассмотрены примеры свободных модулей и отвечающих им коммутативных колец дифференциальных операторов в частных производных с матричными коэффициентами.

Пятница, 25 ноября 2011, 17.00, ауд. 303

## А. Буряк

### Полиномиальность скобки Пуассона в иерархиях Дубровина-Жанга

Абстракт:
Мы построим иерархию уравнений в частных производных, ассоциированную с произвольной тау-функцией в полупростой орбите действия группы Гивенталя на продолжениях по родам фробениусовых многообразий. Гамильтонианы и скобка Пуассона в этих иерархиях оказываются полиномами. В частном случае, когда фробениусова структура является конформной, наша иерархия совпадает с иерархией Дубровина-Жанга, для которой утверждение о полиномиальности гамильтонианов и скобки Пуассона было высказано Дубровиным и Жангом в качестве гипотезы. Таким образом наш подход позволяет доказать эту гипотезу.

Доклад основан на совместных работах с С. Шадриным и Х. Постхумой.

Пятница, 18 ноября 2011, 17.00, ауд. 303

## В. Голышев

### Квантовое соответствие Сатаке (по работе с Л. Манивелем)

Абстракт:
Квантовый принцип Сатаке утверждает, что геометрическое соответствие Сатаке (Дринфельд-Люстиг-Гинзбург-Миркович-Вилонен) для микровесовых грассманианов группы Ли согласовано с квантовыми поправками. Мы сравниваем две структуры в когомологиях грассманиана - кольцевую и модуля Ли, и даем описание квантовых добавок в терминах костантовской подалгебры Картана двойственной по Ленглендсу алгебры Ли.

Пятница, 11 ноября 2011, 17.00, ауд. 303

## Ю.М.Бурман

### Высшие аналоги матричной теоремы о деревьях

Абстракт:
Мы вычислим определитель взвешенной суммы коммутаторов произвольных отражений. Полученный результат имеет вид "дискретного интеграла по пространству путей" и обобщает матричную теорему о деревьях Кирхгоффа и результат Массбаума и Вайнтроба о вычислении пфаффиана суммированием по 3-деревьям.

Теоремы, аналогичные матричной теореме о деревьях, возникают при вычислении обобщенных чисел Гурвица и их аналогов для произвольных групп Коксетера. Об этом я тоже кратко расскажу, если время позволит.

Доклад основан на совместной работе А.Плосконосова, А.Трофимовой и докладчика.

Семинар 28 октября и 4 ноября не состоится. Следующий семинар будет 11 ноября.

Пятница, 21 октября 2011, 17.00, ауд. 303

## Е. Ю. Бунькова (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН)

### Семейства эллиптических кривых, формальные группы и роды Хирцебруха

Абстракт:
В докладе мы рассмотрим общий эллиптический род, принимающий значения в кольце полиномов с целыми коэффициентами от 5 переменных на любом стабильно комплексном многообразии. Этот род обобщает известные роды: двупараметрический род Тодда, L-род и эллиптический род Виттена--Ошанина.

На основе формальной группы Кричевера, экспонента которой задаётся функцией Бейкера--Ахиезера, будет представлена классификация эллиптических родов, являющихся родами Кричевера. В качестве следствия мы получим новые роды Хирцебруха, обладающие сразу двумя фундаментальными свойствами: они являются целочисленными над кольцом полиномов с целыми коэффициентами от параметров эллиптической кривой, и при этом соответствующие им эквивариантные роды являются жёсткими на многообразиях с S^1-эквивариантной SU-структурой.

В докладе также будет представлена деформированная функция Бейкера--Ахиезера, являющаяся деформацией эллиптической функции Бейкера-Ахиезера, и исследованы её свойства. Будет показана связь этой функции с общей эллиптической формальной группой и формальной группой Кричевера.

Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.

Пятница, 14 октября 2011, 17.00, ауд. 303

## Дмитрий Тонконог (МГУ)

### Критерий невырожденности интегрируемых по Лиувиллю систем, с применением к волчку Манакова

Абстракт:
Доклад посвящен особенностям интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем.
Пусть (M,\omega) -- симплектическое 2n-многообразие и h_1,...,h_n -- набор коммутирующих функций на M, дифференциалы которых почти всюду независимы. Будет рассказано о критерии невырожденности особой точки P\in M (т.е. такой, что гессианы функций h_i в точке P линейно зависимы) в смысле Элиассона-Вея.
Критерий будет применен для определения невырожденных особенностей системы "волчок Манакова" (aka 4-мерное твердое тело). Затем будет описана окрестность U особого слоя отображения момента, содержащего седловые особые точки волчка Манакова. А именно, будет описано слоение Лиувилля и поведение переменных действия на U. Мы также обсудим связь этих результатов со спектром квантового волчка Манакова (Sinitsyn and Zhilinskii, SIGMA 3 2007, arXiv:math-ph/0703045).
Доклад основан на препринте arXiv:1009.0863.

Пятница, 7 октября 2011, 17.00, ауд. 303

## Е. Ю. Бунькова (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН)

### Семейства эллиптических кривых, формальные группы и дифференциальные уравнения

Абстракт:
В докладе будет представлен явный вид закона сложения формальной группы, названной эллиптической формальной группой, и соответствующей общей модели Вейерштрасса эллиптической кривой в арифметической униформизации Тейта. Из этого результата получен ряд следствий.
В частности, найден явный вид экспоненты эллиптической формальной группы и дифференциальные уравнения, решениями которых она является. Экспонента эллиптической формальной группы оказалась эллиптической функцией порядка 2 либо 3 в невырожденном случае. В докладе будет показана связь экспоненты эллиптической формальной группы с решениями в форме бегущей волны уравнения Кортевега-де Фриза и модифицированного уравнения Кортевега--де Фриза.
Род Хирцебруха, заданный экспонентой эллиптической формальной группы, принимает значения в кольце полиномов с целыми коэффициентами от 5 переменных на любом стабильно-комплексном многообразии. Этот род обобщает известные роды: двупараметрический род Тодда, L-род и эллиптический род Ошанина--Виттена.
В докладе будут представлены результаты по известной задаче о кольцах, над которыми классическая сигма-функция Вейерштрасса разлагается в ряд Гурвица. Будет представлено решение уравнения теплопроводности в терминах $\sigma$-функции, динамика параметров которой описывается решениями уравнения Шази. В качестве следствия на основе преобразования Коула-Хопфа будут построены соответствующие решения уравнения Бюргерса.
В докладе будет введена формальная группа Кричевера, экспонента которой задаёт род Кричевера, и рассмотрена её связь с эллиптической формальной группой. Будет представлена классификация эллиптических формальных групп Кричевера. В качестве следствия мы получим новые роды Хирцебруха, обладающие сразу двумя фундаментальными свойствами: они являются целочисленными над кольцом полиномов с целыми коэффициентами от параметров эллиптической кривой, и при этом соответствующие им эквивариантные роды являются жёсткими на многообразиях с $S^1$-эквивариантной SU-структурой.
Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.

Пятница, 30 сентября 2011, 17.00, ауд. 303

## А. Kirillov

### Algebraic and combinatorial properties of Jucys--Murphy and Dunkl -Gaudin elements

Абстракт:
The first part of my talk will be concerned with some properties of "universal" Jucys-Murphy elements. In the second part of my talk I define "universal" Dunkl elements, as well as Dunkl-Gaudin ones, with applications to description of the maximal commutative subalgebras (the so-called Bethe subalgebras) in the group ring of the symmetric groups.

Пятница, 23 сентября 2011, 17.00, ауд. 303

## А. Левин

### Эллиптические конфигурации гиперплоскостей и их дополнения

Абстракт:
В работе мы определяем и изучаем эллиптические аналоги конфигураций аффинных гиперплоскостей. Эллиптичность приводит к некоторым новым явлениям, тем не менее для когомологий дополнений с коэффициентами в общей одномерной локальной системы имеются аналоги классических результатов Арнольда-Орлика-Соломона. Данные результаты показывают полноту набора интегралов Варченко-Фельдера.