На главную страницу МЦНМО-НМУ

Г.Колюцкий, Д.Филимонов, А.Фишкин, И.Щуров

Предельные циклы

Записки лекций

[Лекция 1 (63K)|Лекция 2 (86K)|Лекция 3 (70K)|Лекция 6 (94K)
Лекция 7 (78K)|Лекция 9 (80K)|Лекция 10 (83K)|Лекция 11 (100K)
Лекция 12 (122K)]

Листки

Postscript

[Листок 1 (125K)|Листок 2 (115K)|Листок 3 (81K)|Листок 4 (120K)
[Листок 5 (98K)|Листок 6 (153K)|Листок 7 (104K)|Листок 8 (119K)
Листок 9 (85K)|Листок 10 (160K)|Листок 11 (111K)|Листок 12 (143K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (30K)|Листок 2 (28K)|Листок 3 (14K)|Листок 4 (30K)
Листок 5 (21K)|Листок 6 (44K)|Листок 7 (26K)|Листок 8 (31K)
Листок 9 (179K)|Листок 10 (44K)|Листок 11 (29K)|Листок 12 (36K)]

Экзамен

Postscript

[Экзамен (198K)]

Zipped postscript

[Экзамен (57K)]

Понятие предельных циклов ввёл Пуанкаре, создавая качественную теорию дифференциальных уравнений. Он занимался в основном задачей n тел, не решённой до сих пор. Уже тогда, в конце XIX века, становилось понятно, что обычно найти решение дифференциального уравнения в явном виде нельзя. Основная идея Пуанкаре состояла в том, чтобы исследовать свойства решений, не находя их. Прежде всего его интересовала асимптотика решений, т.е. их поведение при больших временах.

Одной из самых известных задач в этой области, мотивировавшей многочисленные исследования в течение уже более чем века, является 16-я проблема Гильберта, а точнее вторая её часть. В ней требуется найти верхние оценки на число предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. 16-я проблема не решена до сих пор, даже в случае квадратичных векторных полей.

В этом курсе мы пройдём путь от классических теорем Пуанкаре, Андронова и Понтрягина до самых свежих результатов и открытых задач.

Программа курса:

- Введение. Векторные поля и поля направлений на плоскости и на сфере. Особые точки, предельные циклы и полициклы
- Теория Пуанкаре-Бендиксона
- Теорема Андронова-Понтрягина
- Уравнение Ван Дер Поля
- Квадратичные векторные поля. Пример Рейна
- Уравнение Ши Сонглина
- 16-я проблема Гильберта: исторический обзор. Теорема конечности Ильяшенко и Экаля. Стратегия Руссари
- Теорема о нулях и росте голоморфных функций
- Проблема Гильберта-Смейла. Уравнения Льенара
- Примеры локальных и нелокальных бифуркаций с рождением предельных циклов
- Возмущения полиномиальных гамильтоновых векторных полей. Абелевы интегралы
- *Типичные $k$-параметрические семейства гладких векторных полей. Проблема Гильберта-Арнольда. Элементарные полициклы. Редукция Хованского
- *О-минимальная геометрия. Теорема Габриэлова

Для понимания курса заведомо достаточно знакомства со стандартными курсами ОДУ и ТФКП. Если вы не знакомы с дифференциальными уравнениями, то этот курс можно воспринимать как вводный, но многие недостающие знания придётся восстанавливать по книге [Ar] в сентябре. Без знания ТФКП можно понять курс в целом (по модулю нескольких лекций во второй половине курса).

Успешно сданный курс можно будет перезачесть студентам мех-мата МГУ.

Список литературы

[Ar] В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Москва: Наука, 1971.
[An] Д.В.Аносов, Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем, Москва: МЦНМО, 2008.
[IYa] Yu.S.Ilyashenko, S.Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, vol.86, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007.

Rambler's Top100