[Листок 1 (37K)|Листок 2 (27K)|Листок 3 (38K)|Листок 4 (19K)
Листок 5 (28K)|Листок 6 (27K)|Листок 7 (38K)|Листок 8 (28K)
Листок 9 (24K)|Листок 10 (22K)|Листок 11 (33K)|Листок 12 (41K)]
[Листок 1 (37K)|Листок 2 (27K)|Листок 3 (38K)|Листок 4 (19K)
Листок 5 (28K)|Листок 6 (27K)|Листок 7 (39K)|Листок 8 (28K)
Листок 9 (24K)|Листок 10 (22K)|Листок 11 (33K)|Листок 12 (41K)]
[Листок 1 (25K)|Листок 2 (22K)Листок 3 (33K)Листок 4 (28K)
Листок 5 (31K)|Листок 6 (27K)|Листок 7 (30K)|Листок 8 (36K)
Листок 9 (17K)|Листок 10 (51K)|Листок 11 (43K)|Листок 12 (28K)]
[Листок 1 (25K)|Листок 2 (22K)Листок 3 (33K)Листок 4 (28K)
Листок 5 (31K)|Листок 6 (27K)|Листок 7 (30K)|Листок 8 (36K)
Листок 9 (17K)|Листок 10 (51K)|Листок 11 (43K)|Листок 12 (28K)]
[Алгебра 1-2|Алгебра 3, геометрия 1|Алгебра 4, геометрия 2-4|Алгебра 5-6, геометрия 5-6
Алгебра 7-9, геометрия 7|Алгебра 8-11|Алгебра 12, геометрия 10-12]
Для работы в математике нам нужно математическое образование. Для эффективной работы в математике, образование должно быть универсальным. Математика существует в качестве единой науки лишь постольку, поскольку есть люди, способные худо-бедно разбираться с любым математическим предметом; когда таких людей не будет, не будет и математики.
Большинство студентов Независимого Университета учатся на мехмате. В этом ничего плохого нет, ибо задачи НМУ и мехмата — разные. Студент МГУ учится в рамках архаичной программы, дополненной по необходимости несколькими спецкурсами специальной (и часто очень узкой) тематики, по указанию научного руководителя. НМУ дополняет архаику более современными главами математики, подавая их по возможности широко и в их естественной взаимосвязи.
Большая часть университетской программы МГУ излагается школьникам в матшколах. Именно поэтому большинство выпускников 57-й школы ничего не делают на мехмате первые два или три года, оставаясь круглыми отличниками.
Независимый Университет традиционно ориентируется на выпускников матшкол. Это и благословение НМУ, и одновременно проклятие. С одной стороны, в распоряжении Независимого Университета есть группа более-менее подготовленных студентов, которым можно на первой лекции по алгебре рассказывать про группу Галуа. С другой стороны, подобный подход отметает всех, кто непричастен к матшколам. Матшкольники поступают в НМУ каждый со своим уровнем подготовки, и тоже не все в состоянии отвечать высоким требованиям.
Поэтому основная задача первого семестра — освоение программы матшколы всеми поголовно. Поскольку поступившие могут знать все уже и так, а могут ничего не знать, мы выбрали для этого (стандартный для матшколы) формат последовательных циклов задач — листочков. Задачи решаются студентами дома и сдаются принимающим во время занятий. Те, кому известна обязательная программа, будут сдавать задачи со звездочками (дополнительной трудности), остальные будут сдавать задачи без звездочек. Программа, которую хочется в результате освоить — своего рода матшкольный тривиум: арифметика, алгебра и геометрия/анализ. Вот вкратце эта программа.
0. Группы, кольца, поля. Действительные и комплексные числа.
1. Базис, ранг, определители. Билинейные, полилинейные формы, двойственные пространства. Определение тензорного произведения векторных пространств.
2. Линейные операторы. Полупростота, нильпотентность. Симплектические и квадратичные формы.
3. Группы преобразований плоскости и пространства. Вывод тригонометрических тождеств через комплексные числа. Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского). Свойства инверсии. Действие дробно-линейных преобразований.
0. Вещественные числа. Пределы, ряды, сходимость.
1. Метрические пространства. Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, собственные отображения).
2. Счетная база. Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой. Полные метрические пространства, критерий Коши полноты пространства. Существование и единственность пополнения.
3. Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность.
4. Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница. Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере, пределы, правило Лопиталя.
1. Конечные поля и конечные геометрии. Малая теорема Ферма. Цикличность группы обратимых элементов в Z/pZ.
2. Основы теории Галуа.
3. p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление p-адических чисел в столбик.
4. Иррациональное и трансцендентное. Теорема Лиувилля. Иррациональность числа е.
Листки с задачами будут включать в себя только часть этих тем (преимущественно алгебру, топологию и теорию чисел); для остального (геометрии Лобачевского и анализа), студенты приглашаются на лекции НМУ. Также студентам необходимо освоить курс логики и элементарной теории множеств, поскольку без него многое будет непонятно; теорию множеств расскажет А.Шень на лекциях по анализу. Вот примерный список нужных знаний.
1. Программа формализации математики (а ля Бурбаки, "Теория Множеств"). Аксиоматика. Доказательство.
Формулировка теоремы Геделя о неполноте.
2. Доказуемое и недоказуемое. Вычислимость. Классы P и NP (две пары).
3. Теорема Тарского о полноте. Доказательство теоремы Геделя (две пары).
4. Теория множеств. Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность множества вещественных чисел.
Кредиты засчитываются за каждый отдельно сданный листок (листок является сданным, если сданы все задачи со звездочками, либо все без звездочек). В конце курса будет проводиться экзамен с задачами повышенной трудности, для особенно героических (но ленивых) студентов, которые ничего не сдавали. Сдача его не предполагается, если студенты и так сдали все листки без исключения, в противном случае придется сдавать.
