Алексей Викторович Пенской
Учебно-исследовательский семинар Независимого московского университета
Спектральная геометрия
В весеннем семестре 2024/2025 учебного года продолжает работу учебно-исследовательский семинар по спектральной геометрии Независимого московского университета под руководством А.В.Пенского.
Для включения в рассылку анонсов докладов и ссылок для входа в Зум надо написать А.В.Пенскому.
15 декабря 2023 года (ПЯТНИЦА!), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Сурков (МГУ)
Тема: Первое собственное число минимально вложенных в единичную сферу гиперповерхностей.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Теорема Такахаси позволяет доказать, что первое собственное число, минимальной вложенной гиперповерхности в единичную сферу, не превосходит размерности гиперповерхности. Таким образом, интересным становится вопрос о нижней оценке значения, которое может принимать первое собственное число подобных гиперповерхностей. В докладе мы обсудим статью Яника Сира, Джоэла Спрука и Джоана Дункана, в которой приводится одна из оценок для первого собственного числа.
Литература:
- Jonah A. J. Duncan, Yannick Sire, Joel Spruck An improved eigenvalue estimate for embedded minimal hypersurfaces in the sphere.Preprint arXiv:2308.12235.
7 декабря 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Алексей Кислицын (МГУ)
Тема: Минимальные подмногообразия и комплекснозначные собственные функции.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
В докладе будет обсуждаться результат Гудмундссона и Манна, который гласит, что прообраз регулярного нуля комплекснозначной собственной функции на многообразии является минимальным подмногообразием коразмерности 2. Также будут рассматриваться минимальные подмногообразия в сфере, которые можно получить с помощью этого утверждения. После чего будет обсуждаться более общая теорема, позволяющая строить минимальные подмногообразия произвольной коразмерности.
Литература:
- Sigmundur Gudmundsson, Thomas Jack Munn, Minimal Submanifolds via Complex-Valued Eigenfunctions.Preprint arXiv:2307.16274.
30 ноября 2023 года (четверг), 20:00-21:30 (НА ЧАС ПОЗЖЕ!), онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (ИППИ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Индекс минимальных поверхностей Фрейзер-Сарджент.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Поверхности Фрейзер-Сарджент - это семейство минимальных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве. Эти поверхности пересекают границу единичного шара под прямым углом, что позволяет рассматривать их части внутри и снаружи шара как минимальные поверхности со свободной границей (МПСГ) внутри и снаружи шара (именно как МПСГ внутри шара они и появились в работах А. Фрейзер и П. Сарджент). Несмотря на то, что эти поверхности можно задать параметрически элементарными функциями, вычисление их индекса и дефекта - непростая задача. Я расскажу, как эта задача полностью решается в случае полных поверхностей Фрейзер-Сарджент, а также о сделанном прогрессе и возникающих трудностях в случае поверхностей Фрейзер-Сарджент внутри и снаружи шара. Доклад основан на совместной работе с В. Медведевым.
Литература:
- Vladimir Medvedev, Egor Morozov, On the Index of Fraser-Sargent-type minimal surfaces.Preprint arXiv:2204.07972.
23 ноября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Лев Локуциевский (МИАН, МГУ)
Тема: Регулярность субримановых геодезических.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Как известно, геодезические на римановом многообразии являются гладкими кривыми. С самого начала исследования субримановых многообразий был обнаружен новый класс анормальных геодезических, которые не возникают в римановой геометрии. Такие геодезические могут иметь очень нестандартные свойства. В частности, крайне сложным оказался стоящий более 30 лет вопрос об их гладкости. Этот вопрос представляет большой интерес в связи с известными приложениями субримановой геометрии к гипоэллиптическим уравнениям, к управлению квантовыми системами, к неголономным задачам, к задачам о восстановлении изображений и нейрофизиологии глаза, к вакономной механике и к кинематической робототехнике. Авторами настоящей работы получен первый результат о регулярности субримановых геодезических, не использующий никакие априорные предположения. Доказано, что скорость на всякой субримановой геодезической обязана быть интегрально гельдеровой. Этот теоретический результат имеет много важных приложений, касающихся скорости убывания коэффициентов в разложении Фурье субримановой геодезической (и, следовательно, эффективности быстрого преобразования Фурье), а также скорости аппроксимации геодезических сплайнами второго порядка.
16 ноября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Sameer Kumar (Moscow Institute of Physics and Technology)
Тема: Negative mass singularities, Penrose inequality and the Conformal conjecture.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
In this talk we will briefly discuss the history of Riemannian Penrose Inequality (RPI). We will focus on the special case of RPI for manifolds with zero area singularities and the conformal conjecture which is used for its proof [1]. The conformal conjecture states that we can perturb the metric of a Riemannian manifold with a conformal factor such that its boundary becomes disjoint from its outermost minimal enclosure (a maximal enclosing set with global minimal area) and the two have areas differing only infinitesimally. Our central topic for the talk will be the proof of conformal conjecture assuming only finite number of minimal enclosures of the boundary of the manifold by Jauregui [2], and subsequent generalisation by me [3] that relaxes this assumption. The proof is a local analysis using techniques from geometric measure theory. Briefs of relevant concepts from geometric measure theory will be given.
Литература:
- Hubert L. Bray, Jeffrey L. Jauregui, “A geometric theory of zero area singularities in general relativity”, Asian J. Math., Vol. 17, No. 3 (2013), pp. 525-560.
- Jeffrey L. Jauregui, “Mass Estimates, Conformal Techniques and Singularities in General Relativity”, PhD Thesis, Duke University, 2010.
- Sameer Kumar, “Proof of the bounded conformal conjecture”, arxiv: 2306.15322, 2023
28 сентября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ)
Тема: Задача Кальдерона для отображений многообразий.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Классическая задача Кальдерона это обратная задача которая возникает например в электрической импедансной томографии. А именно, мы хотим определить (анизотропную) проводимость внутри некоторого объема в пространстве по измерениям плотности электрического тока через границу, возникающего в ответ на различные приложенные потенциалы к этой границе. Можно показать, что эта задача переформулируется на геометрическом языке как задача восстановления римановой метрики в некоторой области n-мерного пространства по оператору Дирихле-Неймана на границе этой области. Обычно же, под геометрической задачей Кальдерона понимают более общую задачу восстановления (топологии и геометрии) риманова многообразия с краем по оператору Дирихле-Неймана.
Мы определим обобщение оператора Дирихле-Неймана на отображения из риманова многообразия с краем в полное риманово многообразие неположительной секционной кривизны. Попутно мы обсудим некоторые свойства этого оператора и отличия с классическим случаем. Используя это, мы обобщим задачу Кальдерона на отображения многообразий. Далее, мы обсудим наш основной результат - единственность решения обобщенной задачи Кальдерона в случае аналитических римановых многообразий. Попутно мы поговорим про аналогичные результаты для классической задачи Кальдерона и её обобщения на эрмитовы расслоения со связностью.
Литература:
- Ravil Gabdurakhmanov, Harmonic maps, inverse problems, and related topics, PhD Thesis, University of Leeds, December 2022.
- Ravil Gabdurakhmanov, On the Dirichlet-to-Neumann operator for the connection Laplacian.Preprint arXiv:2112.13466.
21 сентября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Владимир Медведев (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: О минимальных подмногообразиях со свободной границей в геодезических шарах в полусфере и гиперболическом пространстве.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Известно, что минимальные подмногообразия со свободной границей в шаре в евклидовом пространстве описываются в терминах критических точек функционала «k-ое нормализованное собственное число Стеклова» на множестве римановых метрик на данной компактной поверхности с краем. По аналогии с этим Лима и Менезес недавно ввели некоторый функционал, критическим метриками которого, как мы покажем, являются метрики, индуцированные с минимального погружения со свободной границей в геодезический шар в полусфере. Мы также введём родственный ему функционал и покажем, что его критическим точками являются метрики, индуцированные с минимального погружения со свободной границей в геодезический шар в гиперболическом пространстве. Это описание данных минимальных подмногообразиях со свободной границей позволяет дать оценки на индекс Морса функционала объёма и даже вычислить его точное значение в некоторых случаях. Этот результат также будет обсуждаться в докладе.
Литература:
- V.Lima, A.Menezes, Eigenvalue problems and free boundary minimal surfaces in spherical caps.Preprint arXiv:2307.13556.
- V.Medvedev. On the free boundary minimal submanifolds in geodesic balls in $\mathbb H^n$ and $\mathbb S^n_+$. In progress.
ВЕСНА 2023
22 июня 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Иосиф Полтерович (Université de Montréal)
Тема: Гипотеза Пойи о собственных значениях: новые продвижения.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Гипотеза Пойи (1954) является одной из наиболее известных открытых задач в спектральной геометрии. Согласно этой гипотезе, считающие функции собственных значений Дирихле и Неймана на ограниченной евклидовой области оцениваются, соответственно, сверху и снизу главным членом вейлевской асимптотики. Это результат был установлен Пойей для областей, замощающих пространство, но до недавнего времени не был известен даже в казалось бы простейшем случае диска. В докладе, основанном на совместной работе с Н. Филоновым, М. Левитиным и Д. Шером, будет рассказано о недавнем доказательстве этого факта и некоторых дальнейших продвижениях.
Литература:
- Nikolay Filonov, Michael Levitin, Iosif Polterovich, David A. Sher, Pólya’s conjecture for Euclidean balls. Invent. math. (2023). https://doi.org/10.1007/s00222-023-01198-1
15 июня 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Александр Молокоедов (НИУ ВШЭ)
Тема: Решение задач спектральной геометрии на кольцеподобных областях.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Доклад будет посвящен решению задач спектральной геометрии по поиску собственных чисел оператора Лапласа с различными граничными условиями на кольцах и оценкам на собственные числа кольцеподобных областей.
Литература:
- Nunzia Gavitone, Rossano Sannipoli, On a Steklov-Robin eigenvalue problem. Preprint arxiv:2210.02918.
25 мая 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Муравьёв (НИУ ВШЭ)
Тема: О скорости роста собственных чисел оператора Лапласа с граничным условием Неймана.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
Рассмотрим евклидово пространство и выпуклую ограниченную область M в нем. В своей свежей статье Kei Funano предлагает новую оценку темпа роста собственных чисел оператора Лапласа с граничным условием Неймана на области M.
Литература:
18 мая 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Анна Оверчук (НИУ ВШЭ)
Тема: Старые и новые примеры минимальных поверхностей бесконечной полной кривизны.
Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.
Аннотация:
На протяжении более чем 200 лет геликоид был единственным известным примером вложенной минимальной поверхности бесконечной полной кривизны и конечного рода. Ситуация изменилась в 1993 году, когда Д. Хофман, Ф. Карчер и Д. Вэй обобщили пример геликоида на более высокий топологический род. Они открыли геликоид рода один - это минимальный тор с одним топологическим концом, который асимптотичен на бесконечности геликоиду. С помощью представления Вейерштрасса я расскажу о новых примерах минимальных поверхностей бесконечной полной кривизны, которые обобщают пример геликоида на случай большего количества концов.
Литература:
- Matthias Weber, David Hoffman, Michael Wolf An embedded genus-one he