Иван Александрович Панин

Один метод Воеводского и его применения

И. А. Панин планирует провести 4 занятия.

Доступны 5 видеозаписей курса.

Имеется очень красивый метод конечных соответствий Воеводского. Мы продемонстрируем его силу и красоту, решив следующую задачу.
Пусть k - подполе поля комплексных чисел (например поле рациональных чисел). Пусть подмногообразие X в n-мерном аффинном пространстве задано уравнением F=0. Предположим, что Х является гладким и неприводимым. Пусть k[X] - кольцо регулярных функций на Х и k[X] - поле частных кольца k[X].
Пусть  f∈k[X] - обратимая функция. Предположим, что в поле k[X] она является суммой двух квадратов. Мы докажем, что тогда для каждой точки x из X найдутся функции a и b из k[X] , корректно определенные в точке x и такие, что сумма их квадратов равна f.

Другими словами: если регулярная обратимая функция на является суммой двух квадратов рациональных функций, то она локально в топологии Зариского является суммой двух квадратов.

Замечание. В качестве Х можно взять любое гладкое неприводимое аффинное многообразие. Сумму 2-х квадратов можно заменить на сумму 4-х квадратов. Можно взять и сумму 8-и квадратов.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru