Александр Александрович Гайфуллин

Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

А. А. Гайфуллин планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Одной из ключевых проблем, определивших развитие топологии и геометрии в 20-м веке, стала знаменитая гипотеза Пуанкаре, утверждающая, что всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края топологически эквивалентно (строго говоря, гомеоморфно) стандартной трехмерной сфере. О трехмерном многообразии можно думать, как об объекте, который локально (в окрестности каждой точки) устроен как наше обычное трехмерное пространство. Ключевым в формулировке гипотезы является слово «односвязное», означающее, что в рассматриваемом многообразии всякая замкнутая кривая (петля) может быть непрерывно стянута в точку или, что эквивалентно, заклеена топологическим диском.

Гипотеза Пуанкаре была доказана в серии замечательных работ Г.Я.Перельмана 2002-2003 годов. Однако содержание курса будет связано не с доказательством этой гипотезы, а с ее возникновением. Изначально (в 1900 году) Анри Пуанкаре сформулировал свою гипотезу неправильно. Вместо условия односвязности он потребовал выполнения лишь более слабого условия, а именно, того, что каждая замкнутая кривая в многообразии должна заклеиваться ориентированной двумерной поверхностью (не обязательно диском!). В 1904 году Пуанкаре сам нашел контрпример к изначальной версии своей гипотезы и уточнил ее формулировку. Этот контрпример - трехмерное многообразие, называемое с тех пор гомологической сферой Пуанкаре - будет главным объектом первой половины курса. Я расскажу о различных конструкциях сферы Пуанкаре, связанных с группой симметрии правильного икосаэдра, кватернионами, перестройками вдоль узлов и зацеплений, диаграммой Дынкина E₈.

Вторая половина курса будет посвящена 4- и 5-мерным гомологическим сферам и их связям с теорией групп и теоремами об алгоритмической неразрешимости в топологии. Я расскажу о принадлежащей М.Керверу характеризации фундаментальных групп 5-мерных гомологических сфер, теореме А.А.Маркова (младшего) об алгоритмической неразрешимости проблемы гомеоморфности для четырехмерных многообразий и теореме С.П.Новикова об алгоритмической нераспознаваемости пятимерной сферы, а также об их более современных следствиях и открытых проблемах в этой области.

Пререквизиты: несмотря на наличие слова «гомологические» в названии, никакого знакомства слушателей с теорией гомологий предполагаться не будет. Мне понадобятся только одномерные и (во второй половине курса) двумерные гомологии, которые легко определяются без общей теории, и я расскажу все необходимые мне факты о них. Полезно (но не обязательно) знакомство слушателей с понятием фундаментальной группы и (на интуитивном уровне) с понятием многообразия. А вот что будет по-настоящему нужно, так это уверенное знакомство с основами теории групп (смежные классы, нормальные подгруппы, теорема о гомоморфизме, классы сопряженности, группы перестановок).

Видео лекции:

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru