Виктор Анатольевич Васильев

Дискриминанты и инварианты

В. А. Васильев планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Пусть имеется множество геометрических объектов, зависящих от параметров — например, пространство всех многочленов степени d вида

xd+A1xd-1+…+Ad-1x+Ad,

зависящих от своих коэффициентов A_i, или систем уравнений, или кривых в пространстве, или поверхностей; тогда дискриминантом называется множество объектов, качественно выделяющихся среди остальных.

Например, дискриминантом в пространстве многочленов будет множество многочленов, имеющих кратные корни; при d=2 это множество - кривая в плоскости параметров A_1, A_2 полинома x^2+A_1x+A_2, заданная привычным дискриминантным уравнением 4A_2=A_1^2.

Дискриминанты различных семейств объектов часто встречаются в математике и в жизни — например, их геометрию можно увидеть в очертаниях солнечных зайчиков (по-ученому называемых каустиками) и волновых фронтов. Кроме того, с их помощью удается эффективно различать неэквивалентные между собой неособые (то есть не лежащие на дискриминанте) объекты.

Задача различения обычно решается с помощью т.н. инвариантов - числовых характеристик, заведомо одинаковых у эквивалентных объектов. Например, если считать эквивалентными два многочлена без кратных корней, которые можно непрерывно продеформировать один в другой, не попадая на дискриминант, то простейшим инвариантом, полностью решающим задачу различения, является число корней.

В более сложных ситуациях (например, при классификации пространственных или плоских кривых общего положения, или функций от многих переменных) для различения двух объектов можно продеформировать один из них в другой во всем пространстве, может быть несколько раз пересекая дискриминант, и посчитать, сколько раз, в каком направлении и в каких точках дискриминанта происходило пересечение. Зная структуру дискриминанта, из такой информации можно извлечь инварианты и строго доказать различие объектов.

Я расскажу про геометрию дискриминантов, возникающих в разных задачах, про их связь с каустиками, про задачи классификации кривых, про их простейшие (и не только) инварианты и о том, как в этих задачах используется топология дискриминантных множеств.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru