Виктор Алексеевич Клепцын

Суммы и пересечения динамически определённых канторовых множеств

В. А. Клепцын планирует провести 4 занятия.

Простейшее канторово множество K строится так: берём отрезок [0,1], выкидываем из него (открытую) среднюю треть, из каждого из двух получившихся отрезков по средней трети, и так далее. Получается множество очень "дырявое", но тем не менее равномощное [0,1].

А вот сумма такого множества с самим собой оказывается уже опять "толстой" - это отрезок [0,2] (докажите!). Поэтому пересечение K со сдвигами (a-K) непусто при всех a∈[0,2]; а это весьма удивительно: два дырявых множества пересекаются так, что малым шевелением "расцепить" их не получается.

А что будет, если взять чуть-чуть другие канторовы множества: как будет вести себя их сумма? Легко ли разрушить их пересечение?

Такие вопросы возникают в теории динамических систем, где канторовы множества возникают из множества "скатывающихся" или "набегающих" на инвариантное множество траекторий, а неразрушимость их пересечения нужна для некоторых важных примеров.

Возникают они и на границе теории операторов и математической физики. В довольно естественном классе задач с разделяющимся потенциалом, спектр оказывается суммой "одномерных" спектров - и зачастую это именно сумма канторовых множеств.

Можно вспомнить и теорию чисел, где такие вопросы оказываются связанными с описанием возможных приближений действительных чисел рациональными (более точно, со спектрами Лагранжа и Маркова).

Наконец, часть вопросов формулируется настолько просто и естественно, что интересна сама по себе.

Оказывается, эффекты при сложении канторовых множеств бывают разные — и далеко не все из естественных гипотез, описывающих поведение таких сумм, уже доказаны.

Предварительных знаний не требуется, курс предполагается доступным школьникам.

План курса

  1. 1. Динамически определённые канторовы множества на прямой. Их характеристики: хаусдорфова размерность и густота (тау-параметр).
  2. 2. Суммы и устойчивые пересечения в простейшем случае: лемма Ньюхауса.
  3. 3. Связь с теорией чисел: цепные дроби, F(4)+F(4) и спектры Лагранжа и Маркова.
  4. 4. Обзор известного и неизвестного: гипотезы и теоремы.
  5. 5. Применение в динамических системах: подкова Смейла и область Ньюхауса.
  6. 6. Метрическая и топологическая типичность, гипотеза Палиса и теорема Пьера Берже.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru