Виктор Алексеевич Клепцын
Суммы и пересечения динамически определённых канторовых множеств
В. А. Клепцын планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Простейшее канторово множество K строится так: берём отрезок [0,1], выкидываем из него (открытую) среднюю треть, из каждого из двух получившихся отрезков по средней трети, и так далее. Получается множество очень "дырявое", но тем не менее равномощное [0,1].
А вот сумма такого множества с самим собой оказывается уже опять "толстой" - это отрезок [0,2] (докажите!). Поэтому пересечение K со сдвигами (a-K) непусто при всех a∈[0,2]; а это весьма удивительно: два дырявых множества пересекаются так, что малым шевелением "расцепить" их не получается.
А что будет, если взять чуть-чуть другие канторовы множества: как будет вести себя их сумма? Легко ли разрушить их пересечение?
Такие вопросы возникают в теории динамических систем, где канторовы множества возникают из множества "скатывающихся" или "набегающих" на инвариантное множество траекторий, а неразрушимость их пересечения нужна для некоторых важных примеров.
Возникают они и на границе теории операторов и математической физики. В довольно естественном классе задач с разделяющимся потенциалом, спектр оказывается суммой "одномерных" спектров - и зачастую это именно сумма канторовых множеств.
Можно вспомнить и теорию чисел, где такие вопросы оказываются связанными с описанием возможных приближений действительных чисел рациональными (более точно, со спектрами Лагранжа и Маркова).
Наконец, часть вопросов формулируется настолько просто и естественно, что интересна сама по себе.
Оказывается, эффекты при сложении канторовых множеств бывают разные — и далеко не все из естественных гипотез, описывающих поведение таких сумм, уже доказаны.
Предварительных знаний не требуется, курс предполагается доступным школьникам.
План курса
- 1. Динамически определённые канторовы множества на прямой. Их характеристики: хаусдорфова размерность и густота (тау-параметр).
- 2. Суммы и устойчивые пересечения в простейшем случае: лемма Ньюхауса.
- 3. Связь с теорией чисел: цепные дроби, F(4)+F(4) и спектры Лагранжа и Маркова.
- 4. Обзор известного и неизвестного: гипотезы и теоремы.
- 5. Применение в динамических системах: подкова Смейла и область Ньюхауса.
- 6. Метрическая и топологическая типичность, гипотеза Палиса и теорема Пьера Берже.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru