Роман Михайлович Фёдоров

Приближения алгебраических чисел рациональными и диофантовы уравнения

Р. М. Федоров планирует провести 1-2 занятия.

Доступны 2 видеозаписи курса.

Пусть x — действительное число. Конечно, оно может быть приближено сколь угодно хорошо рациональным числом вида p/q. Но что если мы хотим, чтобы погрешность была маленькой по сравнения с q? Несложно показать, что, например, |√2-p/q|>1/5q². Частичным обобщением этого является оценка Лиувилля, доказанная еще в середине XIX-го века: если x — корень уравнения степени n с целыми коэффициентами, то найдется такая константа c(x), что |x-p/q|>c(x)/qⁿ.

В начале XX-го века Туэ доказал, что n в показателе можно заменить на n/2+1. Но оказывается, что и эту оценку можно существенно усилить. Я сформулирую «наилучшую» возможную оценку, и дам набросок доказательства. Методы, развитые при доказательстве, используются повсеместно в теории трансцендентных чисел. Например, при доказательстве трансцендентности чисел e и π.

Используя эти оценки, можно доказать, что многие диофантовы уравнения имеют лишь конечное число решений. Например, мы докажем это для уравнения x³-2y³=1.

Ожидается, что слушатели немного знакомы с ε–δ анализом и со свойствами многочленов.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru