Moscow Center for Continuous Mathematical Education
Ru
  • Главная
  • / LSHSM
  • / 2018
  • Program Тюрин
    Архив по годам2001200220032004200520062007200820092010Dubna 20112012201320142015201620172018201920202021202220232024


  • Program
  • Teachers
  • Материалы

Николай Андреевич Тюрин

Внеклассное чтение: "Математические методы классической механики" В.И.Арнольда

Н. А. Тюрин планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Если представлять себе выдающиеся произведения научной литературы как горные маршруты, уводящие в небо, то наш небольшой курс — не более чем прогулка с видом на далекие белоснежные вершины. Мы собираемся просмотреть видимые начала одного из красивейших маршрутов, уводящего далеко за облака, к высоким перевалам и вершинам классической механики. Очень скоро вчерашние школьники сами выйдут на этот маршрут, а пока .... давайте немного потренируемся.

1. Инфинитезимальная геометрия конфигурационного пространства

Необходимым на маршруте будет знание о том, откуда берутся векторные поля и дифференциальные формы. И поскольку мы готовимся к маршруту, проложенному В.И.Арнольдом, то в понимании этих геометрических объектов (а также в том, что такое дифференциальное уравнение) мы будем следовать ему.

2. От второго закона Ньютона к Гамильтоновой механике

Аристотель считал, что движение описывается дифференциальным уравнением первого порядка, возможно именно поэтому древние греки, прекрасно разбиравшиеся в конических сечениях, описывали движение небесных тел с помощью эпициклов. Ньютон описал движение дифференциальным уравнением второго порядка; понижая порядок и переходя от конфигурационного пространства к фазовому, можно представить все в простой и красивой форме.

3. Скобки Пуассона. Интегрируемые системы

Как нас учили на уроках физики в школе, решать задачи удобно через законы сохранения. В самом общем смысле этот принцип может быть сформулирован так: если физическая величина (= некоторая функция на фазовом пространстве) коммутирует с гамильтонианом (= выделенная функция на фазовом пространстве, определяющая движение системы) относительно кососимметрической операции (называемой скобками Пуассона), то эта величина является инвариантом движения и называется интегралом движения.

4. Классические механические системы на компактных фазовых пространствах

Главное отличие подхода В.И.Арнольда к классической механике по сравнению со "стандартными" физическими курсами в том, что он приложим к любому фазовому пространству, в том числе к случаю компактного фазового пространства (некоторые даже приписывают Арнольду обобщение классической механики на компактный случай, хотя очевидно что Дирак вполне разбирался в этом вопросе, вводя свои системы со связями). Этот путь выводит к началу другого маршруту на соседнюю, еще не пройденную вершину - симплектическую топологию.


Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru

карта

МЦНМО

+7 (499) 241-05-00 adm@mccme.ru

НМУ

+7 (499) 241-40-86 +7 (499) 795-10-15 ium@mccme.ru

Книги

+7 (495) 745-80-31 biblio@mccme.ru
  • Адрес:
  • Москва, 119002, Большой Власьевский переулок, 11
  • Copyright ©1996–, МЦНМО