Георгий Борисович Шабат

Динамика многоугольников и сверхбыстрые приближения

Г. Б. Шабат планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Динамика на множестве многоугольников Π определяется отображением f:Π→Π, причём основной интерес представляют f-траектории Р↦f(Р)↦f(f(Р))↦f(f(f(Р)))↦… многоугольников Р∈Π.. Мы рассмотрим два таких отображения — на множестве прямоугольников и на множестве вписанных шестиугольников. В первом случае одна сторона прямоугольника f (Р) равна стороне квадрата с тем же периметром, что у Р, а другая - с той же площадью, что у Р. Во втором случае шестиугольник предлагается воспринимать как приближённый треугольник, который хотели описать вокруг окружности, но чуть-чуть промахнулись, и отображение f постепенно исправляет неточность, заменяя секущие на касательные.

Рассматриваемые конструкции роднит то, что все траектории с огромной скоростью приближаются к неподвижным точкам отображения f (квадрату и шестиугольнику, всё-таки выродившемуся в треугольник). Обе были тщательно изучены ещё в 19-м веке, Гауссом и рядом менее известных авторов. Многие понятия и результаты комплексного анализа, теории специальных функций и алгебраической геометрии были развиты при продумывании этих конструкций. Изначально соответствующие теоремы объяснялись с помощью загадочных подстановок в интегралах; для нас же их общее понимание достигается на основе концепций современной математики. В курсе будут даны приложения развитой теории к сверхбыстрому приближению числа и ультраэллиптических интегралов.

Для понимания основной части курса не надо знать ничего за пределами школьной программы, но надо быть готовыми заниматься довольно трудной математикой.

Г.Б.Шабат предполагает провести четыре занятия, сопровождаемых компьютерными демонстрациями.

Примерная программа.

  1. 1. Геометрические итерации и их экспериментальное исследование.
  2. 2. Эллиптические и ультраэллиптические интегралы.
  3. 3. Решётки периодов и изогении якобианов кривых.
  4. 4. Сверхбыстрые приближения. Обсуждение обобщений.

Материалы


Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru