Иван Александрович Панин

О топологическом аналоге гипотезы Гротендика-Серра

И.А.Панин планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Пусть Х - это подмножество в комплексном векторном пространстве вида \{F=0\}, где F - многочлен от соответствующего числа переменных. Более обще, пусть Х - это подмножество вида \{F_1=F_2=...F_r=0\} в комплексном векторном пространстве, где F_i; многочлены. Мы будем предполагать, что Х гладкое связное как комплексное многообразие. Если g - еще один многочлен, то X_g - это подмножество в Х, где g не равен нулю. Будем предполагать, что X_g не равен Х. Будет доказана следующая теорема и различные ее обобщения.

Теорема. Рассмотрим Х как топологическое пространство с обычной комплексной топологией, в которой окрестностями являются шарики радиуса эпсилон. Пусть E - комплексное топологическое расслоение над Х. Если Е тривиально над X_g, то для каждой точки х\in Х найдется многочлен h такой, что
1) h(x)\ne0;
2) сужение расслоения $Е$ на $X_h$ тривиально.
Другими словами Е локально тривиально в топологии Зариского на Х.

Сначала теорема будет доказана в одномерном случае, в котором она, вообще говоря, тривиальна. Однако нам будет важен метод. Далее мы воспользуемся обобщением метода Воеводского, чтобы доказать теорему в общем случае. В заключении мы докажем аналогичные теоремы для вещественного векторного расслоения, для главного расслоения со слоем окружность, для главного расслоения со слоем трехмерная сфера и наконец для главного расслоения слой которого — это произвольная компактная группа Ли.

Доказательство использует только 2 свойства указанных типов расслоений и геометрию алгебраических многообразий. Вот эти 2 свойства:
а) возможность склейки расслоений;
б) свойство гомотопической инвариантности: расслоений над Х столько же, сколько расслоений над X\times\text{отрезок}.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru