Хайдар Джамилевич Нурлигареев
Периодические и апериодические замощения
Х. Д. Нурлигареев планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Замощение плоскости многоугольниками — это покрытие плоскости многоугольными плитками без пробелов и наложений. Зафиксировав какой-нибудь конечный набор плиток, который мы будем называть протомножеством, можно попытаться замостить плоскость копиями этих плиток. Ситуации, в которых это удаётся сделать, могут быть трёх различных типов:
- все замощения данным набором плиток периодические,
- существуют как периодические, так и непериодические замощения,
- все замощения данным набором плиток непериодические.
В последнем случае соответствующее протомножество, равно как и любое замощение, получающееся на его основе, называется апериодическим.
В первой части лекций я постараюсь продемонстрировать различные способы, которыми можно получать периодические и непериодические замощения, и вывести общие законы, которым эти замощения подчиняются. Вторая часть будет посвящена природе апериодических замощений, и чтобы глубже понять её, в какой-то момент мы перейдём от замощений плоскости к замощениям других объектов. Специальных предварительных знаний у слушателей не предполагается, и хотя знакомство с основами топологии упростит понимание второй части лекций, все необходимые понятия будут объяснены по ходу изложения.
Примерная программа курса:
- 1. Понятия плитки, протомножества, замощения. Лемма Кёнига и достаточное условие существования замощения с данным протомножеством (можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса). Задача Хееша.
- 2. Группа симметрий замощения, периодические и непериодические замощения. Фундаментальная область и формула Эйлера. Теорема том, что если группа симметрий замощения обладает параллельным переносом, то существует периодическое замощение с тем же протомножеством.
- 3. Самоподобные фигуры, процесс дефляции-инфляции, слабая и строгая иерархия, самоподобные замощения и их свойства. Метод "вырезать и спроецировать" (cut-and-project method).
- 4. Апериодические протомножества и апериодические замощения. Замощения Робинсона и Пенроуза. Гипотеза Конвея (Einstein problem), плитка Соколара-Тейлора и бипризма Конвея-Данцера-Шмидта.
- 5. Топология на замощениях. Теорема Долбилина (если данное протомножество допускает замощение, то либо существует периодическое замощение с этим протомножеством, либо оно апериодично и допускает континуум различных непериодических замощений).
- 6. Асимптотические вопросы, связанные с замощениями цилиндра и компактных поверхностей.
Материалы
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru