Иван Анатольевич Чельцов

Прямые на кубических поверхностях

И. А. Чельцов планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Глядя на Шуховскую башню в Москве, можно увидеть, что однополостный гиперболоид содержит бесконечно много прямых. Более того, прямые «живут» на нем в двух разных семействах. Эти же прямые легко увидеть на параболическом гиперболоиде. Если использовать комплексные числа, те же два семейства прямых можно найти и на сфере. Но мы не видим этих прямых, потому что на них нет вещественных точек, что для математиков не большая проблема. Однополостный гиперболоид, параболический гиперболоид и сфера - примеры поверхностей второго порядка, которые также принято называть квадриками, потому что они задаются уравнениями степени 2.

А что можно сказать про прямые на поверхностях больших степеней? Если степень больше трех, то, к сожалению, красивого результата нет, потому что общая такая поверхность просто не содержит прямых. Удивительно, но на кубической поверхности количество прямых всегда одно и тоже: 27. Это верно только для гладких поверхностей (как легко видеть на примере кубических конусов, на которых бесконечное число прямых). Причем для такого красивого результата нужно, как и в случае квадрик, рассматривать комплексные числа, иначе часть прямых может "исчезнуть". Более того, "гладкость"; нужно также рассматривать на бесконечности, ведь кубические цилиндры также содержат бесконечное число прямых (это конусы с вершиной на бесконечности). Все эти условия очень естественные и очень явные, если использовать язык проективной геометрии.

В данном курсе мы покажем, что работать с проективными пространствами и комплексными числами намного проще и намного лучше, чем с обычными пространствами и вещественными числами. Потом мы научим, как находить 27 прямых на неособой кубической поверхности, и попробуем на примерах понять, сколько прямых может быть на особых кубических поверхностях. Курс будет основан на примерах, задачах и их решениях.

Предварительный план по занятиям

  1. 1. Прямые и коники на проективной плоскости. Классификация кубических прямых. Теорема Безу в примерах.
  2. 2. Прямые и поверхности в трехмерном проективном пространстве. Прямые на квадриках. Прямые на неособых кубических поверхностях.
  3. 3. 27 прямых на неособой кубической поверхности.
  4. 4. Прямые на особых кубических поверхностях.

Материалы


Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru