Иван Александрович Панин

Об одной гипотезе Гротендика–Серра

И. А. Панин планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Гипотеза Гротендика–Серра содержит в качестве частных случаев совершенно разные на вид задачи. На нескольких примерах будет показано то, как они формулируются, и то, как они решаются. Для колец, содержащих бесконечное поле гипотеза была доказана в [FP] здесь в Дубне в 2012 году! Для колец, содержащих конечное поле, гипотеза была доказана в [P] в 2014 году. Сформулирована гипотеза была Серром в 1959 году и Гротендиком в полной общности в 1969 году. Около 90% доказательства основано на интереснейших геометрических свойствах гладких аффинных алгебраических многообразий.

Пример задачи. Пусть К=С(t1,t2,...,tn)К=С(t1,t2,...,tn) — поле рациональных функций от nn переменных и пусть RR — подкольцо в КК, состоящее из дробей вида f/gf/g таких, что g(0,...,0)g(0,...,0) не равно нулю. Т.е. RR — кольцо рациональных функций, корректно определенных в окрестности начала координат. Пусть aiai, bibi — обратимые элементы в RR. Пусть A=∑ri=1aiT2iA=∑i=1raiTi2 и B=∑ri=1biT2iB=∑i=1rbiTi2 квадратичные формы. Предположим, что ВВ получается из АА линейной подстановкой с коэффициентами из КК. Теорема Оянгурена гласит, что тогда ВВ получается из АА линейной подстановкой с коэффициентами из RR.

Пререквизиты

Курс рассчитан на студентов. Требуется знание комплексных чисел, небольшое знание топологических пространств, непрерывных отображений и знакомство с понятием гомотопности непрерывных отображений. Впрочем последнее понятие будет объяснено.

Литература

• [FP] Fedorov, R.; Panin, I. A proof of Grothendieck—Serre conjecture on principal bundles over a semilocal regular ring containing an infinite field, Publications Mathematiques de l'IHES .— 2015.— Vol. 122, no. 1.— P. 169-193.
• [P] Panin, I. Proof of Grothendieck—Serre conjecture on principal G-bundles over regular local rings containing a finite field, arXiv:1406.0247.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru