Александр Александрович Гайфуллин

Вокруг формулы Шлефли

А. А. Гайфуллин планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Предположим, что в пространстве движутся четыре точки, никогда не оказываясь в одной плоскости. В каждый момент времени рассмотрим тетраэдр с вершинами в этих точках. Оказывается, что скорости изменения двугранных углов этого тетраэдра (то есть их производные по времени) удовлетворяют замечательному соотношению 

∑i=16ℓi(t)θi˙(t)=0.

Здесь ℓ1,…,ℓ6ℓ1,…,ℓ6 — длины рёбер тетраэдра, θ1,…,θ6θ1,…,θ6  — двугранные углы при этих рёбрах, а точка обозначает производную по времени. Это и есть простейший вариант формулы Шлефли. Такому же соотношению удовлетворяют и производные двугранных углов произвольного многогранника, который непрерывно изменяется с сохранением своего комбинаторного типа.

Ещё более интересный вид формула Шлефли принимает, если рассматривать многогранники не в евклидовом пространстве (пространстве нулевой кривизны), а в пространстве Лобачевского (пространстве постоянной отрицательной кривизны) или в сферическом пространстве (пространстве постоянной положительной кривизны). В этом случае в правой части формулы Шлефли вместо нуля будет стоять производная по времени объёма многогранника, умноженная на постоянный множитель ±2 (знак равен знаку кривизны). Поэтому формулу Шлефли можно применять для вычисления объёмов некоторых многогранников в неевклидовых пространствах.

Курс доступен школьникам. В частности, не требуется предварительное знакомство с геометрией Лобачевского.

Программа курса

  1. 1. Формула Шлефли в евклидовом пространстве. Разные её доказательства.
  2. 2. Необходимые сведения о плоскости и пространстве Лобачевского. Формула для площади многоугольника в плоскости Лобачевского или на сфере.
  3. 3. Формула Шлефли в неевклидовых пространствах постоянной кривизны.
  4. 4. Явные формулы для объёмов некоторых видов неевклидовых многогранников.
  5. 5. Аналитическое продолжение функции объёма симплекса в пространстве Лобачевского. Если успею: его применение для доказательства постоянства объёмов изгибаемых многогранников в трёхмерном пространстве Лобачевского.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru