Евгений Юрьевич Смирнов

Гипотеза Хорна и соты

Е. Ю. Смирнов планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц A и B. Это снова будет эрмитова матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения матриц A и В? Во-первых, ясно, что след A+B будет равен сумме следов исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение A+B не превосходит суммы наибольших собственных значений A и B. А какие еще есть ограничения?

В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения матриц A, B и A+B и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор условий. В 1999 году А.А.Клячко свел эту гипотезу к так называемой гипотезе о насыщении, которая вскоре после этого была доказана Алленом Кнутсоном и Терри Тао. Они же предложили описание неравенств Хорна при помощи “сот” — диаграмм вроде той, что изображена на рисунке.

Они также показали, что эти диаграммы — и неравенства Хорна — имеют самое прямое отношение к теории представлений полной линейной группы GL(n), а также к исчислению Шуберта на грассманианах. Они, в частности, позволяют свести задачу о разложении тензорного произведения двух представлений на неприводимые компоненты к чисто комбинаторной задаче подсчета “пазлов” — замощений треугольника элементами мозаики определенного вида.

Курс будет доступен первокурсникам и всем, знающим линейную алгебру в объеме стандартного курса. Знания теории представлений не требуется, все необходимые понятия будут объяснены в ходе лекций.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru