Иван Александрович Панин
Введение в А1-гомотопическую теорию Мореля–Воеводского
И. А. Панин планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
В теории Воеводского и Мореля есть две составляющие: геометрическая и теоретическая. Вторая часть много сложнее, а первая — очень геометрична. Мы займемся именно геометрической частью.
Одна из конкретных задач, которые мы разберем, примерно такова. Пусть $F$ — поле (например, поле комплексных, или поле вещественных, или поле рациональных чисел). Пусть $Q(F)$ — это множество классов эквивалентности невырожденных квадратичных форм с точностью до линейных замен координат. Тогда $Q(F)$ равно классам оснащенных соответствий из точки в точку с точностью до наивных $А^1$-гомотопий (= полиномиальных $А^1$-гомотопий).
При этом квадратичной форме $aT^2$ сопоставляется оснащенное соответствие (начало координат, прямая, функция $at$), здесь $а$ — ненулевой элемент поля $F$. Эта теорема является алгебраическим вариантом теоремы из топологии о том, что классы отображений из сферы в себя однозначно определяются степенью отображения. В алгебраическом случае роль степени отображения играет класс эквивалентности квадратичной формы над данным полем $F$.
Курс рассчитан на студентов 1-го и 2-го курса.
Предполагается хорошее знакомство с комплексными числами, многочленами и рациональными функциями. Все необходимые определения будут даны по ходу курса. Изложение, по-видимому, будет вестись в основном в случае $F$ = поле комплексных чисел.
Простой пример полиномиальной гомотопии. Для любой матрицы $А$ размера 3 на 3 над полем $F$ с определителем $1$ можно найти матрицу $А_t$ над кольцом многочленов $F[t]$ такую, что $А_1=А$, $А_0=\text{единичной матрице}$. Это наблюдение показывает, что все отображения из точки в обратимые матрицы размера 3 на 3 с определителем 1 являются полиномиально эквивалентными.
На этот раз курс будет сопровождаться решаемыми задачами (упражнениями).
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru