Виктор Алексеевич Клепцын

Проблемы Гильберта

В. А. Клепцын планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

8 августа 1900 года Давид Гильберт сделал на Втором Математическом конгрессе доклад (см. [1, с. 13–64], представив слушателям ставший с тех пор знаменитым список проблем столетия. За прошедшие сто с лишним лет большая их часть была решена — и, что важнее, в ходе их решения появились новые сюжеты и новое понимание.

Я собираюсь затронуть несколько из них и обсудить, в каком контексте они формулировались и куда продвинулось наше понимание за эти сто лет. Этот курс предполагается обзорным и адресованным школьникам (в частности, он не предполагает предварительных сведений).

Программа-максимум

  • 10-я проблема (и теорема Матиясевича): «как программировать многочлены»? Почему есть многочлен от нескольких переменных, у которого положительная часть множества его значений в точках с натуральными координатами это в точности множество всех простых чисел?
  • 13-я проблема: самый знаменитый связанный с нею результат — это (совершенно парадоксальная по формулировке) теорема Колмогорова-Арнольда: оказывается, любая непрерывная функция от трех переменных (из $[0,1]^3$ в $[0,1]$) представляется в виде композиции непрерывных функций двух переменных. Более того, можно обойтись лишь функциями одной переменной, и функцией суммы! Но начиналось все с алгебраических функций. А почему вообще две и три переменные, и почему Гильберт явно оговаривает функцию, задающую решение уравнения $x^7+ax^2+bx+c=0$?
  • алгебраическая часть 16-й проблемы: каким бывает множество $P(x,y)=0$ для многочлена P степени n, как все эти примеры можно строить? Гипотеза Арнольда, теорема Гудкова, склейка Виро, и тропическая геометрия.
  • 8-я проблема Гильберта: почти все, скорее всего, слышали о гипотезе Римана. А почему она интересна (и даже, через сто лет после Гильберта, попала в список из семи проблем тысячелетия)?
  • 3-я проблема Гильберта: равносоставленность тел. На плоскости, как утверждает теорема Бойяи—Гервина, любые два многоугольника равной площади равносоставлены — можно разрезать один из них на части-многоугольники и передвинуть их так, что получится второй. А что будет в пространстве?

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru