Виктор Алексеевич Клепцын

Решетки и упаковки шаров

В. А. Клепцын планирует провести одно занятие.

Доступна видеозапись курса.

Понятно, как наиболее плотно расположить одинаковые монеты на плоском столе: их центры должны образовывать шестиугольную решетку. В размерности 3 вопрос о наиболее плотной упаковке одинаковых шаров — гипотеза Кеплера — оказался гораздо более сложным: его решили меньше 20 лет назад, причем доказательство занимает больше трех сотен страниц и существенно использует компьютерные (пусть и строгие) вычисления.

Однако в размерностях 8 и 24 есть очень красивые и симметричные решетки — это решетка Коркина-Золотарева (1877, [KZ]) и решетка Лича (1967, см. [L], [CS], [Z]) соответственно.

В марте этого года появились две работы: Марина Вязовска доказала [V], что упаковка решеткой Коркина-Золотарева — действительно плотнейшая в размерности 8, а в соавторстве с Коном, Кумаром, Радченко и Миллером [CKMRV] они получили такой же результат в размерности 24 и для решетки Лича.

Удивительным образом, ход рассуждений этих работ — опирающихся на предложенную Коном и Элкисом в их работе [CE] 2003-го года оценку на плотность любых упаковок — совершенно нагляден, и его рассказу и будет посвящена лекция.

Я буду предполагать, что слушатели хорошо знакомы с понятием скалярного произведения и с комплексной экспонентой. Желательно также минимальное знакомство с рядами Фурье; впочем, я приведу на лекции все необходимые сведения о них.

Список литературы

  • [KZ] A. Korkine, G. Zolotareff (1873), Sur les formes quadratiques, Mathematische Annalen, 6:3, 366-389.
  • [L] J. Leech (1967), Notes on sphere packings, Canadian Journal of Mathematics 19: 251–267.
  • [CE] H. Cohn, N. Elkies (2003), New upper bounds on sphere packings I, Annals of Mathematics, 157, 689–714; arXiv:math.MG/0110009.
  • [CS] Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. М.: Мир, 1990.
  • [V] M. Viazovska (2016), The sphere packing problem in dimension 8, preprint, arXiv:1603.04246.
  • [CKMRV] H. Cohn, A. Kumar, S. Miller, D. Radchenko, M. Viazovska (2016), The sphere packing problem in dimension 24, preprint, arXiv:1603.06518v1.
  • [Z] C. Zong, What is … the Leech lattice? Notices Amer. Math. Soc. 60:9 (2013), 1168--1169.

Материалы


Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru