Александр Игоревич Буфетов,
Дмитрий Игоревич Зубов

Меры Пальма

А. И. Буфетов и Д. И. Зубов планируют провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Каковы шансы 18-летнего москвича дожить до 80 лет?

Джон Граунт, изучавший таблицы смертности (bills of mortality, [3]) лондонцев ещё в середине XVII века, считается предтечей теории точечных процессов, изучающей последовательности неразличимых событий, происходящих через случайные промежутки времени.

Например, в процессе Пуассона количества событий в непересекающихся интервалах времени независимы. Таким образом можно моделировать приход автобусов на остановку. Если автобус ходит по Пуассону в среднем раз в 10 минут, а мы приходим на остановку каждый день в одно и то же время, то мы будем ждать следующего автобуса в среднем десять минут (отнюдь не пять!). В этом состоит парадокс времени ожидания.

Разбирая парадокс, мы придём к мерам Пальма – условным мерам при условии события в данный момент времени. Отправляясь от введённой Пальмом в [7] функции, меры Пальма подробно изучил в работе [5] А.Я. Хинчин (см. также [6]).


Конрад Пальм
(1907-1951)
Александр Яковлевич Хинчин
(1894-1959)

Во второй части курса мы рассмотрим так называемые детерминантные точечные процессы, моделирующие поведение газа заряженных частиц, а также (гипотетически) распределение нулей дзета-функции Римана. В этой модели частицы влияют друг на друга на сколь угодно большом расстоянии.

На левом рисунке частицы иногда накапливаются, а на правом отталкиваются под действием кулоновской силы.

Главный результат второй части курса – явное описание [1] условных мер Пальма детерминантных процессов.

План курса

  1. История точечных процессов: от таблиц смертности к теории массового обслуживания.
  2. Пуассонов процесс и парадокс времени ожидания.
  3. Теорема Пальма--Хинчина.
  4. Гиббсовское свойство. Условные меры детерминантных точечных процессов.

Доказательства в курсе используют только сведения, входящие в школьную программу (дифференцировать и интегрировать функции одной переменной всё же понадобится), и наш курс вполне доступен увлечённому школьнику.

Ссылки

[1] Alexander I. Bufetov. Conditional measures of determinantal point processes. Preprint.
[2] D.J. Daley, D. Vere-Jones. An Introduction to the Theory of Point Processes. Volume I: Elementary Theory and Methods. Springer-Verlag New York, 2003.
[3] John Graunt. Observations on the London bills of mortality. 1662.
[4] А.Н. Колмогоров. Sur le problème d'attente. Мат. сборн., 1931, 38, № 1—2, 101-106.
[5] А.Я. Хинчин. Математические методы теории массового обслуживания. Тр. МИАН СССР, 1955, том 49, стр. 3-122.
[6] А.Я. Хинчин. Математическая теория стационарной очереди. Мат. сборн. 1932, 39, №4, 73-84.
[7] C. Palm. Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr. Ericsson Technics, 1943, 44, 1-189.

Материалы


Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru