Илья Игоревич Богданов
Покрытия арифметическими прогрессиями
И. И. Богданов планирует провести 3-4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Основной предмет, изучающийся в курсе — покрытие множества всех целых чисел конечным числом арифметических прогрессий. Поскольку каждая прогрессия из целых чисел задаётся сравнением вида $x\equiv a\pmod m$, часто говорят о покрытиях системой сравнений.
Вопросы, в которых оказываются полезными такие покрытия, возникают в разных областях математики. Мы, в частности, поговорим о следующих вопросах:
- 1. Конечно или бесконечно множество нечётных чисел, не представимых в виде суммы или разности степени двойки и простого числа?
- 2. Вершины правильного нечётноугольника разбиты на несколько множеств, каждое также является множеством вершин правильного многоугольника. Тогда среди полученных многоугольников есть три равных.
- 3. При каких целых d существует многочлен f(x) с целыми коэффициентами (f(1)\neq -d) такой, что при всех n многочлен x^nf(x)+d раскладывается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами (отличных от \pm1)?
Мы увидим, что первые два вопроса решаются автоматически после введения правильного языка. Третий же (не решённый до сих пор) тесно связан с одной из самых известных гипотез в изучаемой области.
Структура покрытий прогрессиями весьма богата и сложна (а также интересна) для изучения. Мы увидим, как можно (и нужно!) один и тот же объект описать на совершенно различных языках — комбинаторном, теоретико-числовом, алгебраическом и т. п. Каждый из таких подходов приносит свои плоды (а также приводит к постановке новых открытых вопросов).
От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и Китайской теоремой об остатках.
Материалы
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru