Алексей Игоревич Буфетов

Циклы случайных перестановок и процессы Пуассона

Ал. И. Буфетов планирует провести 4 занятия.

Доступны 4 видеозаписи курса.

Для большого числа $N$ зададимся вопросами:

  • Какова доля натуральных чисел $n=1,2, \dots, N$, имеющих простой делитель, больший чем $\sqrt n$?
  • Рассмотрим все перестановки из $N$ элементов. Сколько из них имеют цикл длины больше, чем $N/2$?

Более глобально, нас будет интересовать:

  • Как выглядит (типичное) разложение на простые множители случайного (от $1$ до $N$) натурального числа?
  • Как выглядят (типичные) длины циклов случайной перестановки из $N$ элементов?

В таком виде даже не совсем понятно, как может выглядеть ответ — ведь простых делителей и циклов может быть много (скажем, порядка $N$), а может быть мало (порядка константы).

Основная цель курса — сформулировать и обосновать ответ на эти вопросы.

Для этого нам потребуется познакомиться с понятием пуассоновского процесса. В жизни мы сталкиваемся с пуассоновскими процессами очень часто, например:

  • когда ждем автобуса, который ходит не по расписанию
  • когда смотрим на звездное небо (особенно если из случайной точки вселенной)
  • когда к нам приходят сообщения в социальных сетях (при условии, что у нас много друзей и они нам часто пишут без особого повода)
  • когда изучаем радиоактивный распад,
  • когда смотрим на капли на асфальте после дождя.

    Мы изучим некоторые базовые свойства пуассоновских процессов, что будет и любопытно само по себе, и поможет ответить на упомянутые выше вопросы про разложения на простые множители и перестановки.

    Программа курса

    По курсу предполагается выдача листочков с задачами.

    Для понимания курса желательно что-то слышать о производной и интеграле. Предварительные знания из теории вероятностей не предполагаются.

    Материалы

      1. Длины циклов перестановки $N$ элементов. Сходимость к процессу «ломания палки». Краткое изложение необходимых сведений из теории вероятностей.
      2. Пуассоновский процесс — определение и базовые свойства.
      3. Процесс Пуассона–Дирихле. Сходимость упорядоченных длин циклов случайной перестановки к процессу Пуассона–Дирихле при $N \to \infty$.
      4. Сходимость упорядоченных простых множителей случайного числа к процессу Пуассона–Дирихле.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru