Ольга Викторовна Сипачева
Топологическая алгебра: топологические группы и другие алгебраические системы с топологией
О. В. Сипачева планирует провести 4 занятия.
Герман Вейль уверял, что за душу каждой математической области борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры. Для тех, кому любопытно посмотреть, что выйдет из встречи этих двоих в мирной обстановке, придумана топологическая алгебра.
Чтобы получить самое грубое и приблизительное представление об алгебре, надо понять, что останется от арифметики, если забыть о числах. Каждый школьник прикасается к абстрактной алгебре, когда преобразует буквенные выражения. Алгебра — это наука о множествах с операциями, а группа (один из центральных объектов алгебры) — множество, на котором определены две операции (умножение и взятие обратного элемента).
Топология получается из геометрии, если забыть об измерениях (т.е. о разнице между чашкой и бубликом). Центральное понятие топологии — непрерывность. Разумеется, чтобы можно было говорить о непрерывности отображения, надо снабдить отображаемые множества некоторой структурой (системой подмножеств) — топологией. В школе неявно рассматривается топология на прямой, определяемая расстоянием, но на самом деле можно определять самые разные топологии на любых множествах — определение топологии накладывает на неё очень слабые условия.
Как нетрудно догадаться, топологическая алгебра (не путать с алгебраической топологией!) занимается изучением множеств с непрерывными операциями, и самый первый вопрос, который приходит в голову — а всегда ли операции можно сделать непрерывными? В частности, на всякой ли группе можно ввести нетривиальную топологию так, чтобы умножение и взятие обратного элемента были непрерывными?
У этой чрезвычайно трудной задачи есть очень изящное решение (контрпример). Оно основано на весьма сложных вещах — существовании бесконечной конечно порождённой группы, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, однако само рассуждение в высшей степени просто и элегантно. Оно будет изложено в курсе. Будут обсуждаться и другие направления топологической алгебры (главным образом, теории топологических групп, но не только), в частности, естественно возникающие в ней теоретико-множественные проблемы.
От слушателей требуется свободное владение основными математическими понятиями в рамках программы начальной школы. Приветствуется (но не требуется) знакомство с понятием непрерывной функции.
Программа курса
- 1. Топологические пространства, непрерывные отображения, группы и топологические группы. Существование групповых топологий.
- 2. Мощность множества. Кардиналы и ординалы. Взаимоотношение между существованием групповых топологий и существованием решений систем уравнений в группах.
- 3. Операции на топологических пространствах. Свободные топологические группы.
- 4. Топологические векторные пространства и другие тополого-алгебраические системы. Функциональные пространства. Некоторые нерешенные проблемы.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru