Алексей Яковлевич Канель-Белов,
Иван Викторович Митрофанов
Фракталы Рози
А. Я. Канель-Белов и И. В. Митрофанов планируют провести 3-4 занятия.
Рассмотрим последовательность двоичных слов: $$0, 01, 010, 01001, 01001010, \dots $$ Каждое слово, начиная со второго, получено из предыдущего по такому правилу: единицы заменяются на нули, а нули — на $01$, причём все замены делаются одновременно. В пределе получается знаменитое слово Фибоначчи: $01001010010\dots$
Оно обладает многими интересными свойствами, в частности, связано с золотым сечением и с поворотом окружности.
В этом курсе будет рассказано о подстановочных системах довольно общего вида и о связанных с ними геометрических конструкциях, называемых фракталами Рози.
Например, слово Трибоначчи $121312112131\dots$ состоит из цифр $\{1,2,3\}$ и получается с помощью подстановки $1\to 12$, $2 \to 13$, $3 \to 1$. Оказывается, что оно в некотором смысле устроено так же, как двумерный тор, разбитый на три части с фрактальной границей. (В то, что на первом рисунке изображена развёртка тора, трудно поверить, но тем не менее это так, и вторая картинка это иллюстрирует).
Для понимания курса было бы неплохо знать, что такое линейное пространство, как перемножаются матрицы и что такое открытые и замкнутые множества в $\mathbb{R}^n$.
Материалы
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru