Александр Владимирович Гасников

Об эффективных методах поиска транспортно-экономических равновесий

А. В. Гасников планирует провести 4 занятия.

В конце XX века выдающийся математик (филдсовский лауреат) Стивен Смейл подобно Давиду Гильберту предложил свой список “задач следующего столетия”. Одной из этих задач под номером 8 (всего было 18) была задача: “Расширить математическую модель общей равновесной теории таким образом, чтобы включить установление цен.” Речь шла о классической модели общего экономического равновесия Эрроу-Дебре (1959). Эта задача многие годы будоражила умы ведущих экономистов, например, нобелевского лауреата П. Самуэльсона.

О решении этой задачи в частном случае (когда поиск равновесия сводится к поиску седловой точки) и пойдет речь. При этом акцент будет также сделан на том, чтобы процесс “установления цен” (а в общем случае “нащупывания” экономического равновесия, которое может характеризоваться не только ценами) был не только “естественным”, но и быстрым, чтобы его можно было использовать для эффективного вычисления равновесия.

Все это приведет нас к довольно интересной математике полезной также: при изучении эволюции (естественного отбора), при изучении предельных форм, при изучении и обобщении метода потенциалов Канторовича-Гавурина.

Мы постараемся объяснить как связана концепция равновесия по Нэшу, принцип отбора Дарвина и принцип максимума энтропии Джейнса. Как исходя из этого можно прийти к более сложным конструкциям экономического равновесия: конкурентному равновесию Вальраса.

Для того, чтобы почувствовать о какого рода задачах будет идти речь, ниже приведена модельная задачка (восходящая к Нестерову-деПальме), которая легко может быть соотнесена участниками школы с тем, как они будут выбирать время подъема на ЛШСМ-2014, чтобы с одной стороны поспать подольше, а с другой стороны не опоздать на первую лекцию.

Задача. Из жилого района в рабочий район утром должны отправляться N=10000 автомобилей. Водитель каждого автомобиля хочет приехать ровно к 9 часам утра в рабочий район. При этом каждая минута опоздания штрафуется в a=10 рублей, каждая потерянная минута в пути стоит b=4 рубля (сюда относится и время потерянное в пробке), а каждая потерянная минута в ожидании начала рабочего дня (если водитель приехал раньше времени) стоит с=2 рубль. Время в пути по свободной дороге занимает T =60 минут. Но при въезде на дорогу из жилого района есть узкое место, пропускная способность которого ограничена 3000 автомобилей в час. В результате при въезде на основную дорогу может скапливаться пробка. Найдите равновесное распределение водителей по времени выезда (то есть по времени вступления в пробку (очередь) при выезде на основную дорогу).

Дополнительные материалы:

• Заметка об эффективной вычислимости конкурентных равновесий в транспортно-экономических моделях,
• Марковские модели макросистем.

Литература

• Sandholm W. Population games and Evolutionary dynamics. Economic Learning and Social Evolution. MIT Press; Cambridge, 2010.
• Algorithmic game theory. Ed. N. Nisan, T. Roughgarden, E. Trados, V.V. Vazirani. Cambridge Univ. Press., 2007.
• Andersen S.P., de Palma A., Thisse J.-F. Discrete choice theory of product differentiation. MIT Press; Cambridge, 1992.
• Lugosi G., Cesa-Bianchi N. Prediction, learning and games. New York: Cambridge University Press, 2006.
• Введение в математическое моделирование транспортных потоков. Под ред. А.В. Гасникова. М.: МЦНМО, 2013.
• Гасников А.В. Заметка об эффективной вычислимости конкурентных равновесий в транспортно-экономических моделях // Мат. мод., 2015.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru