Марина Файвушевна Прохорова

Гладкие многообразия и гомотопические группы сфер

М.Ф.Прохорова планирует провести 4 занятия.

Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства X является множество π_n(X) гомотопических классов непрерывных отображений n-мерной сферы Sⁿ (два отображения считаются эквивалентными, если их можно непрерывно продеформировать одно в другое). Это множество обладает естественной структурой группы и называется n-ой гомотопической группой пространства X .

Оказывается, что в случае, когда пространство X само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л.С.Понтрягина, связывающую группу π_n+k(Sⁿ) с k-мерными гладкими подмногообразиями в (n+k)-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить π_n+k(Sⁿ) для k≤3. Я расскажу про вычисления для k=0,1.

Программа курса

1. 1.Гомотопические группы топологического пространства.
2. 2.Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения.
3. 3.Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер.
4. 4.Гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу. Степень отображения.
5. 5.Гомотопическая классификация отображений (n +1)-мерной сферы в n-мерную сферу.

Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, n-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных.

Курс основан на книге Л.С.Понтрягина «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий».

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru