Лев Дмитриевич Беклемишев

Что такое логика доказуемости?

Л.Д.Беклемишев планирует прочитать одну лекцию

Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли - и если да, то как - говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью? Решение было, по существу, предложено ещё Гёделем, а потом эта область активно развивалась начиная с 60-х годов XX века.

Язык логики доказуемости, наряду с обычными связками логики высказываний, содержит одноместные связки, обозначаемые □ и ◊. При этом □ A выражает доказуемость высказывания A, а ◊ A его непротиворечивость. Какие принципы логики доказуемости следует считать тавтологиями, то есть верными (подумайте: истинными или доказуемыми?) независимо от смысла элементарных высказываний, из которых они построены?

Слушателям рекомендуется подумать, следует ли считать тавтологиями следующие примеры:
□ A & □ B → □(A & B)
□ (A ∨ B) → □ A ∨ □ B
□ A → □□ A
◊ A → □ ◊ A
□ A → A
Как можно описать множество всех тавтологий логики доказуемости? Есть ли алгоритм, распознающий тавтологичность?

Для понимания рассказа будет полезно общее знакомство с теоремами Гёделя о неполноте и иметь представление о формальных системах, построенных на базе логики предикатов, таких как формальная арифметика Пеано. Разумеется, от слушателей НЕ требуется помнить многочисленные технические детали.

Материалы

• задачи к лекции

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru