Алексей Брониславович Сосинский
Узлы: инварианты и нормальные формы
А.Б.Сосинский планирует провести 3–4 занятия.
Теория узлов и зацеплений — наука с более чем 200-летней историей; ее первые значительные результаты принадлежат великому Гауссу; теория узлов достигла своего апогея в девяностые годы прошлого столетия в работах В.А.Васильева и четырех филдсовских лауреатов В.Джонса, Э.Виттена, В.Дринфельда и М.Концевича. Удивительно, что отдельные достаточно свежие достижения этой теории, например знаменитый полином Джонса, могут быть изложены в форме доступной (умному) девятикласснику. На летней школе этого года, кроме моего миникурса, теории узлов будут посвящены курсы Ивана Лосева и Дениса Миронова.
Узел — это гладкая кривая в пространстве. Два узла считаются эквивалентными, если один можно гладко продеформировать в другой. Например, узел называется тривиальным, если его можно продеформировать в круглую окружность, иными словами — распутать. Основные проблемы теории узлов: проблема классификации или сравнения (два узла даны своими изображениями — эквивалентны ли они?) и проблема Гордиева узла или проблема распутывания (дано изображение узла — тривиален ли он?). Эти проблемы помогают решить инварианты и приведение (с помощью компьютерных анимации) к т.н. нормальным формам; об этом и будет рассказаны в курсе.
Лекция и первые два занятия будут доступны школьникам, а неповерхностное понимание последнего занятия потребует более серьезных знаний, например, полезно знать про необходимое условие минимума функционала и градиентный спуск (но зато будут показаны мультфильмы).
Программа
- 1.Диаграмма узла, изотопия, геометрия и арифметика узлов, движения Рейдемейстера, вычисление полинома Александера-Конвея.
- 2.Скобка Кауфмана и полином Джонса.
- 3.Свойства полинома Джонса и его применения.
- 4.Энергия плоских кривых и узлов.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru