Владимир Юрьевич Протасов
Вариационные задачи
В.Ю.Протасов планирует провести 4 занятия
Вариационное исчисление — наука о поиске минимума функции в бесконечномерном пространстве. В отличие от привычных нам задач на минимум, когда нужно оптимальным образом выбрать число (параметр), или, скажем, точку на плоскости, в вариационных задачах требуется найти оптимальную функцию. При этом, одним и тем же набором средств решаются задачи самого разного происхождения: из классической механики, геометрии, математической экономики и т.д.
Мы начнем со старых задач, известных с XVII века, и, перекидывая мостки от одной задачи к другой, быстро доберемся до современных результатов и нерешенных проблем.
Вначале мы познакомимся с некоторыми общими принципами (уравнения Эйлера-Лагранжа, и т.д.) и посмотрим как они работают на примере задачи о минимальных поверхностях. В частности, мы увидим, почему форма мыльной пленки близка к графику экспоненты. От неё мы перейдём к аэродинамической задаче Ньютона, которая в течение трех веков считалась решенной, и лишь сравнительно недавно выяснилось, что её решение не совсем верно (а правильного решения, как и ответа, нет до сих пор). Здесь естественным образом возникнет понятие оптимального управления и принцип максимума, который выведет нас к современным результатам о феномене чаттеринга и импульсного управления.
Примерный план (разбивка — не по лекциям, а по темам):
- 1.С чего всё началось? Задача о кривой наискорейшего спуска. Уравнения Эйлера-Лагранжа.
- 2.Катеноида, или, почему лопаются мыльные пленки?
- 3.Аэродинамическая задача Ньютона: 300 лет спустя — всё сначала. Поверхности почти нулевого сопротивления и полностью невидимые поверхности.
- 4.Что такое оптимальное управление? Принцип максимума.
- 5.Всё оказалось сложнее, чем мы думали... NP-сложность вариационных задач. Хаос с точками переключения: эффект чаттеринга и пример Фуллера. Отсутствие оптимальных траекторий, импульсное управление.
Большая часть курса доступна школьникам.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru