Гаянэ Юрьевна Панина

Комбинаторика многогранников:
от теоремы Штейница к универсальности

Г.Ю.Панина планирует провести 4 занятия

…сложность растет с переменой мест
И.Бродский

Курс построен на контрасте
«трёхмерные многогранники устроены просто»
vs
«начиная с размерности 4, многогранники устроены универсально сложно».

Программа курса:

1. 1. Первый контринтуитивный пример: циклический многогранник.
2. 2. Теорема Штейница (о простой комбинаторной природе трехмерных многогранников) и следствия из нее: форму грани трехмерного многогранника можно предписать, любой комбинаторный тип многогранника может быть реализован в рациональных числах.
3. 3. В старших размерностях и теорема Штейница, и следствия из нее перестают иметь место. И это хорошо, так как контрпримеры дают нам набор комбинаторных «инструментов» и «кубиков лего», которые будем всячески сочетать (приветствуется фантазия).
4. 4. Теорема универсальности Мнева, или, по меткому выражению Р. Вакила, «Закон Мерфи для выпуклых многогранников» будет получена в результате следующей цепочки конструкций: Комбинаторика плоских точечных конфигураций — Точечные конфигурации кодируют алгебраические соотношения — по плоской точечной конфигурации можно построить выпуклый многогранник.
5. 5. Разнообразие приемов: теорема универсальности для шестимерных многогранников (через зонотопы), теорема универсальности для четырехмерных многогранников (многогранник с «большой» гранью).

От слушателей требуется представление о (многомерном) евклидовом пространстве.
Например, хорошо понимать, что уравнение 4x−3y+7z+t=8 задает гиперплоскость в четырехмерном пространстве.

Рекомендуемая литература: J. Richter-Gebert, Realization spaces of polytopes, Lecture Notes in Math., Springer, 1996.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru