Алексей Владимирович Устинов

Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса–Кузьмина для конечных цепных дробей

А.В. Устинов планирует провести 4 занятия.

В своих лекциях о цепных дробях В.И.Арнольд сформулировал несколько интересных гипотез. Одна из них утверждает, что статистики Гаусса–Кузьмина для конечных цепных дробей асимптотически ведут себя так же как и для почти всех действительных чисел. Грубо говоря, если для всех точек (p, q), лежащих в расширяющейся области, рассмотреть разложения в цепную дробь, то вероятность появления числа k среди неполных частных будет стремиться к p_k=log₂(1+1/(k(k+2))) — вероятности появления k в виде неполного частного «типичного» действительного числа. (См. задачу 1993–11 в книге «Задачи Арнольда» или стр. 17 брошюры «Цепные дроби».)

На занятиях планируется доказать эту гипотезу Арнольда в простейшем случае (для треугольной области 0<p≤ q≤ R, R→∞), попутно познакомиться со всеми необходимыми инструментами и обсудить важность статистик Гаусса–Кузьмина для других задач.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru