Михаил Борисович Скопенков

Разрезания прямоугольников, случайные блуждания и электрические цепи

М.Б.Скопенков планирует провести 4 занятия.

Будут доказаны следующие классические результаты, а также некоторые их современные обобщения:

1. (Теорема Дена)1. Если прямоугольник разрезан на квадраты, не обязательно равные, то отношение длин его перпендикулярных сторон рационально.
2. (Теорема Пойа)2. Если человек случайным образом перемещается по 2-мерной решетке, то он вернется в начальную точку с вероятностью 1. Если же он перемещается по 3-мерной решетке, то вероятность его возвращения строго меньше 1.
3. 3. (Теорема Куранта-Фридрихса-Леви) На границе единичного квадрата задана непрерывная функция f. На узлах решетки с шагом 1/n задана функция f_n, значение которой в каждом узле внутри квадрата равно среднему арифметическому ее значений в 4 соседних узлах, а в каждом узле на границе равно функции f. Тогда функции f_n сходятся к некоторой непрерывной функции на квадрате при неограниченном увеличении числа n.

Доказательства основаны на замечательной физической интерпретации, использующей электрические цепи.

Курс будет в основном состоять из задач, решение которых доступно школьникам. Никаких специальных знаний физики не требуется.

[1] M. Prasolov, M. Skopenkov, Tiling by rectangles and alternating current, J. Comb. Theory A 118:3 (2011), 920–937.
[2] М. Прасолов, М. Скопенков, Разрезания металлического прямоугольника, представлено к публикации в «Кванте».

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru