Олег Николаевич Карпенков и
Татьяна Михайловна Бойко

Целочисленная геометрия и тригонометрия

О.Н.Карпенков и Т.М.Бойко планируют провести 3-4 занятия.

На занятиях мы обсудим геометрию, возникающую на целочисленной решётке на плоскости. Как и евклидова, целочисленная геометрия оперирует понятиями точек, прямых, отрезков, многоугольников, но длины отрезков и тригонометрические функции углов уже оказываются другими. Во многом, целочисленная геометрия похожа на евклидову, однако некоторые свойства у них кардинально различаются (целочисленность синусов и косинусов, наличие двух неконгруэнтных прямых углов,…).

В конце XX века было показано, что целочисленная геометрия аналогична торической геометрии, поскольку проективные торические многообразия задаются целочисленными многогранниками с точностью до целочисленно-аффинных преобразований. При этом многие понятия и теоремы целочисленной геометрии переводятся на язык торической геометрии и наоборот. Например, целочисленные углы соответствуют торическим особенностям (возникающие при их изучении паруса являются одномерными аналогами парусов Арнольда-Клейна). Аналогом тригонометрических функций в целочисленной геометрии правильно считать цепные дроби Хирцебруха-Юнга, которые строятся по разрешению упомянутых выше торических особенностей.

Несмотря на ВСЕ страшные слова в предыдущем абзаце, курс будет доступен школьникам; задачи к курсу (разбитые на два листка) вы можете найти в прилагаемом файле.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru