Александр Игоревич Буфетов
Севак Мартинович Мкртчян

Ортогональные полиномы

А.И. Буфетов и С.М. Мкртчян планируют провести 4 занятия.

Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина

maxx∈[–1,1]|Pn(x)|

принимает наименьшее возможное значение.

Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы даются формулой

P0(x) =1
Pn(x) =21-ncos(n arccos x), n>1.
Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.

Рассмотрим на отрезке [a,b] положительную непрерывную функцию ρ(x). Семейство полиномов Pn, n∈ℕ∪{0}, называется семейством ортогональных полиномов с весом, если

  1. 1. полином Pn имеет степень n;
  2. 2. при n1≠n2 выполнено
    ∫ab Pn1(x)Pn2(x)ρ(x) dx=0.

Такое семейство {Pn} единственно с точностью до умножения каждого Pn на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке [–1,1] полиномы Чебышева?

Если [a,b]=[–1,1] а ρ(x)≡1, то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.

Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.

Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объёме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.



Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru