Владимир Юрьевич Протасов

Вариационное исчисление: новая жизнь двух старых задач

В.Ю.Протасов планирует провести 4 занятия

Более 300 лет назад Ньютон поставил свою «аэродинамическую задачу»: среди всех выпуклых поверхностей, имеющих данную высоту и содержащих круг данного радиуса в основании, найти ту, которая имеет наименьшее сопротивление (при движении в идеальном газе или жидкости). Она стала одной из первых задач вариационного исчисления — науки о нахождении минимумов функций в бесконечномерных пространствах. Ньютон нашёл форму оптимальной поверхности. Лишь совсем недавно выяснилось, что его решение не совсем верно. Оказывается, несимметричные поверхности могут быть более обтекаемы, а невыпуклые поверхности могут иметь сколь угодно малое сопротивление. Наконец (что кажется вовсе невероятным) существуют поверхности, сопротивление которых равно нулю! Причём их построение использует лишь «школьную» элементарную геометрию. С точки зрения оптики, такие поверхности, будучи сделанными из зеркального материала, абсолютно невидимы в одном направлении. Мы разберём два возможных подхода к решению задачи Ньютона, для чего потребуется пройти основы вариационного исчисления. Затем построим невыпуклые поверхности со сколь угодно малым сопротивлением. Для этого понадобятся некоторые геометрические свойства квадрик.

Задача о замкнутых геодезических на выпуклой поверхности также относится к вариационному исчислению. Геодезическая — это кривая, локально-кратчайшая в каждой точке. В 1906 г. Пуанкаре высказал гипотезу о существовании, как минимум, трех замкнутых несамопересекающихся геодезических на гладкой выпуклой поверхности. Иными словами, на гладкий камень можно тремя способами натянуть резиновое кольцо так, что оно не сползёт. Число 3 объяснялось тем, что для эллипсоида их ровно три. Гипотеза была доказана в 1930 Люстерником и Шнирельманом, а в 1992–93 Фрэнкс и Бангерт показали, что геодезических на самом деле бесконечно много (в том числе и у эллипсоида!) В 2005 был построен элементарный пример «четвертой» геодезической на эллипсоиде. Мы разберем этот пример и подробно исследуем геодезические на поверхности многогранников. Будет доказана теорема о числе геодезических на многограннике и сформулированы несколько открытых проблем.

Большая часть курса доступна школьникам.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru