Виктор Алексеевич Клепцын

Решётки и упаковки шаров в многомерных пространствах

В.А.Клепцын планирует провести 4 занятия.

Как плотнее всего расположить непересекающиеся одинаковые круги на плоскости? Ответ известен — разместив их центры в вершинах треугольной решётки. В трёхмерном пространстве ответ хоть и считается известным («пирамида ядер»), но до сих пор не доказан.

Достаточно часто в этой или в похожих задачах (скажем, в задаче о контактном числе) ответом (или предполагаемым ответом) оказывается расположение шаров в вершинах, образующих решётку. Поэтому исследование решёток в многомерных пространствах оказывается очень естественным шагом — и приводит к исключительно красивой теории.

Программа курса:

  1. Решётки в многомерных пространствах, «сильная дырявость» кубической решётки. Характеристики решётки: контактное число, плотность упаковки. Связь контактного числа с передачей информации по зашумлённому каналу.
  2. Конкретные примеры: пирамида ядер в R3, кубическая, cfc и ccc решётки. Совпадение пирамиды ядер с cfc. Шахматная решётка в R4.
  3. Свойства решёток: целость, чётность, унимодулярность. Двойственные решётки, самодвойственность. Примеры: решётки Dn, Γn.
  4. Коды, их свойства. Порождающая матрица, проверочная матрица. Решётки, получающиеся из кодов, связь свойств. Код Хэмминга, пополненный (8,4,4)-код, решётка E8 (она же решётка Коркина- Золотарёва, она же решётка Витта).
  5. Корни, классификация решёток, порождённых корнями (см. также записки курса Е.Смирнова в ЛШСМ-08). Код Голея и решётка Лича.
  6. Производящий многочлен кода, его поведение при переходе к двойственному коду. Теорема о делимости на 8 размерности дважды чётного самодвойственного кода. Немного теории представлений: производящий многочлен как многочлен от стандартных.

    Если останется время, мы перейдём к более сложным, но тоже красивым и интересным вопросам:

  7. Тета-функция чётной решётки, переход к двойственной решётке. Модулярные формы, модулярность тета-функции чётной унимодулярной решётки. Теорема о делимости на 8 размерности чётной унимодулярной решётки.
  8. Ещё немного о модулярных формах и связи с комплексным анализом: функция Вейерштрасса, модулярные инварианты, вложение эллиптической кривой в CP². Как устроено пространство E2n модулярных форм?

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru