Владимир Юрьевич Протасов
Теоремы о замыкании
В.Ю.Протасов планирует провести 2 занятия
Всем любителям геометрии известна теорема Понселе, утверждающая, что если для двух окружностей существует n-угольник, вписанный в одну из них и описанный относительно другой, то таких n-угольников бесконечно много, причем в качестве вершины можно взять любую точку первой окружности. На самом деле, теорема Понселе является лишь одним (и, в некотором смысле, не самым важным) представителем целого класса подобных геометрических фактов, которые можно назвать теоремами о замыкании. Теоремы о замыкании (поризм Штейнера, понзаг, теорема о зигзаге, и т.д.) появлялись независимо в течение почти двух столетий. И лишь совсем недавно выяснилось, что эти теоремы фактически равносильны друг другу. Более того, все они являются следствиями одного и того же глубокого геометрического факта, известного как теорема Эмха. Можно ли доказать этот факт, используя лишь элементарные средства ?
Мы попытаемся ответь на этот вопрос, по пути изучив несколько красивых и полезных геометрических конструкций и методов (см. программу).
Примерная программа мини-курса:
- 1. Общий корень теорем о замыкании — теорема Эмха.
- 2. Теорема Понселе и формулы Эйлера.
- 3. Доказательство Якоби теоремы Понселе с помощью инвариантной меры на окружности.
- 4. Пучки окружностей и пучки коник. Большая теорема Понселе. Трехмерное пространство окружностей.
- 5. Элементарное доказательство теоремы Эмха.
- 6. Теоремы о замыкании в плоскости Лобачевского.
- 7. Формула Кэли.
Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru