Гаянэ Юрьевна Панина

Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию

Гаянэ Юрьевна Панина планирует провести 4 занятия

Торическое многообразие — (относительно) простой пример алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений... 

Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический язык, и наоборот (см. программу ниже).  Это современная математика, уже успевшая стать классической.

Программа курса.

От слушателей требуется владение понятиями «коммутативное кольцо», «идеал», «фактор», «поле», «гомоморфизм», «действие группы», «орбита», «проективная плоскость», «комплексные числа».

1. 1. 1. Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка — максимальный идеал» и «неприводимое множество — простой идеал». Конструкция «конус — алгебра полиномов Лорана — аффинное торическое многообразие». Уже интересно, т.к. становятся видны сингулярности многообразия.
   2. 2. Склеиваем многообразие из аффинных карт. Соответствие «многогранник — веер — торическое многообразие». Примеры: проективная прямая, проективная плоскость (видите, не так уж и страшно), поверхность Хирцебруха. Появляется структурный пучок.
   3. 3. Тор и его действие. Инвариантные подмногообразия. Соответствие «грани многогранника — инвариантные подмногообразия ».
   4. 4. Раздутие точки на алгебраическом многообразии. Соответствие «раздутие — измельчение веера — отрезание уголка многогранника».
   5. 5. Пучки модулей на торическом многообразии. Соответствия «многогранник — обратимый пучок», «целая точка многогранника — глобальное сечение пучка», «сумма Минковского — тензорное произведение пучков». В этой связи абсолютно естественно появляются виртуальные многогранники.
   6. 6. (Вряд ли мы дойдем до этого пункта) Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный объем — индекс пересечения», «неравенство Александрова-Фенхеля для смешанных объемов — неравенство Ходжа для индексов пересечения». Теорема Бернштейна–Кушниренко о числе корней системы полиномиальных уравнений.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru