Анатолий Моисеевич Вершик

A что будет, если n очень большое?

А.М.Вершик планирует провести 2-3 занятия

Ответом на этот вопрос занимется пол-матетматики и почти вся физика, — более точную оценку дать невозможно, поскольку часто этот вопрос маскируется совсем непохожими на него.

Но это не значит, что, если вы видите в задаче n или даже 2ⁿ , то надо сразу задавать этот вопрос или немедленно переходить к пределу по n — "асимптотничать" надо с умом.

Мы рассмотрим несколько таких примеров.

Пример №1.
Как устроена подстановка n предметов (т.е элемент симметрической группы S_n) когда n большое?

1. Простая задача: сколько циклов в произвольной ("типичной" или "случайной" — это будет уточнено) подстановке при большом n?

2. Задача посложнее с неожиданным ответом: каким может быть типичное соотношение между суммами длин циклов четной и нечетной длины — при больших n?

3. Трудный вопрос: в скольких циклах содержится 99% предметов у 99% всех подстановок при очень больших n (ответ — в 11).

Оказывается, все эти вопросы можно задать и получить те же ответы в задаче о совсем не похожих объектах, а именно: о простых делителях типичных натуральных чисел, Например, аналог последней задачи: произведение 11 старших простых делителей для большинства (99%) натуральных чисел n почти равно этому числу =n^0.99, если n очень большое.

Эти задачи привели к замечательной теории случайных сходящихся рядов, которая нашла применения в популяционной генетике, в теории запасов, и даже в теории представлений и ее применениях к физике.

Пример №2.
Рассмотрим разбиения натурального числа в сумму натуральных же слагаемых расположенных в невозрастающем порядке. Разбиениями занимался еще Л.Эйлер, а Харди и Раманауджан нашли в начале ХХ века очень сложную формулу для числа таких разбиений (простой формулы не существует!). Как выглядит типичное разбиение числа n, когда n очень большое. Первым этот вид нашел физик Темперли 60 лет назад, правда, без всякого доказательства. А мы попробуем доказать, что предельная форма разбиения, (которое можно геометрически изображать диаграммой Юнга) существует и найдем ее.

Пример №3.
Рассмотрим выпуклые многоугольники на плоскости, вершины которых лежат на целочисленной решетке (т.е.имеют целые координаты). Зафиксируем площадь многоугольников, равную n², и будем считать, что центр тяжести вершин этих многоугольников лежит в начале координат. Как выглядит типичный многоугольник при очень большом n, если его сжать в n раз? А если фиксировать не площадь, а квадрат, в котором лежат многоугольники?

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru