Михаил Борисович Скопенков

Рамсеевская теория зацеплений

М.Б.Скопенков планирует провести 4 занятия.

Замечательная теорема Конвея-Гордона-Закса гласит: для любых 6 точек в пространстве, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости, найдутся два зацепленных треугольника с вершинами в этих точках.

Пара зацепленных треугольников — простейший пример зацепления. Произвольное зацепление можно представлять себе как несколько веревок, концы каждой из которых соединены (если веревка одна — получим узел). Цель курса — доказать следующее "рамсеевское" свойство узлов:

Теорема Негами (1994). Пусть дан произвольный узел У. Тогда найдется такое число N, что для любого набора N точек в пространстве, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости, найдется ломаная с вершинами в данных точках, заузленная так же, как У.

В качестве применения рамсеевской теории зацеплений будет приведено простое доказательство гипотезы Менгера, остававшейся открытой на протяжении нескольких десятилетий: двумерную фигуру, являющуюся произведением двух полных графов на 5 вершинах, нельзя расположить без самопересечений в 4-мерном пространстве.

Курс будет в основном состоять из задач, решение которых доступно школьникам.

[1] В. Прасолов и М. Скопенков, Рамсеевская теория узлов и зацеплений, Математическое просвещение, 3-я серия 9 (2005), 108-115.

[2] M. Skopenkov, Embedding products of graphs into Euclidean spaces, Fundamenta Mathematicae 179 (2003), 191-197.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru