Иван Владимирович Аржанцев

Представления колчанов и матричные задачи

И.В.Аржанцев планирует провести 4 занятия

Пусть Γ — конечный ориентированный граф. Тогда Γ называют колчаном. Конечно, конечный ориентированный граф можно назвать и любым другим словом. Однако когда говорят о колчанах, имеют в виду их представления, т.е. считают, что каждой вершине графа Γ сопоставлено векторное пространство, а каждой стрелке — линейное отображение между соответствующими пространствами. Возможность выбрать другой базис в каждом из пространств определяет отношение эквивалентности на множестве представлений колчана. Многие задачи из теории матриц допускают "колчанную" интерпретацию. В курсе мы рассмотрим несколько таких задач, а также поговорим о замечательных объектах из самых разных разделов математики, которые естественно возникнут в процессе их решения.

Занятие 1. Арифметические векторные пространства и линейные отображения. Матрица линейного отображения, ее канонический вид. Подпространства. Пары и тройки подпространств. Колчаны и их представления. Эквивалентные представления. Примеры. Задача о паре матриц.

Занятие 2. Матричные задачи. Канонические формы и сечения. Частично упорядоченные множества и их представления. Задача Кронекера.

Занятие 3. Неприводимые и неразложимые представления колчанов. Форма Титса. Положительная определенность и схемы Дынкина. Конечный (finite), ручные (tame) и дикие (wild) колчаны. Типичное разложение. Инварианты представления колчана.

Занятие 4. Классификация наборов подпространств. Звездные колчаны. Теорема Мажьяра-Веймана-Зелевинского.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru