Владимир Игоревич Арнольд

Цепные дроби квадратных корней из целых чисел

Цепная дробь вещественного числа периодична если и только если это число удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. (Лагранж)

Всякая периодическая последовательность определяет такую цепную дробь, но для уравнений x²=Q или x²+px+q=0 c целыми коэффициентами периодические цепные дроби обладают удивительными специальными свойствами. Например, если длина периода равна 2, то один из членов периода делится на другой. Если длина периода нечетное число, то Q является суммой квадратов двух натуральных чисел. Однако если Q сумма квадратов, то длина периода может быть как четной, так и нечетной.

Назовем число Q «красным», если длина периода цепной дроби нечетна.

В курсе будут доказаны некоторые теоремы о «красных» числах и сформулированы новые гипотезы о них. Будет также обсуждено понятие равномерного распределения множеств точек в эвклидовых пространствах с применениями к распределениям простых и «красных» чисел.

Никаких специальных предварительных знаний у слушателей не предполагается.

Organization Committee e-mail:
dubna@mccme.ru